5. Шингэний хэмжүүрүүд ба загвар харьцуулалт

I- Шахуурга / Насос

 Шахуурга буюу насос  нь (pump) механик энергийг шингэний энергирүү шилжүүлэгч юм.  Шахуургын чадалыг гидравлик чадал буюу усны чадал гэж нэрлэх бөгөөд шахуургаас шингэнрүү шилжсэн нийт энергийг тодорхойлно.

Шахуургыг ажиллуулах моторын чадал ба шахуургын өөрийн чадлын харьцааг `шахуургын үр ашиг` гэж тодорхойлно (pump efficiency).

 η = Q ρ g h / P

• η, шахуургын үр ашиг
• Q, урсгалын хэмжээ
• Ρ, шингэний нягт
• G, дэлхийн татах хүчний тогтмол
• h, шахуургын шингэнд өгөх түлхэлт (head)
• P, шахуургыг ажиллуулах моторын чадал

II. Идеал Хий

Шингэний механикт идеал хийний тэгшитгэлийг мэдэх нь чухал байдаг.  Идеал хий болон тэгшитгэлүүд нь Термодинамик бүлэг дээр дэлгэрэнгүй тайлбарлагдсан байгаа.  Энд маш товчхоноор идеал хийний тэгшитгэл болон зарим термодинамик процессуудын талаар оруулав.

Идеал хийний тэнцэтгэл нь `төлөв байдлын тэгшитгэл` болно (equation of state)

Tөлөв байдлын тэгшитгэл гэж юу вэ?

Физик ба Термодинамикт аливаа төлөв байдлыг бусад төлөв байдлаар илэрхийлэн тэнцүүлсэн тэгшитгэлийг `төлөв байдлын тэгшитгэл` гэдэг.  Төлөв байдал нь даралт, температур, эзлэхүүн гэх зэрэг шинж чанарыг тодорхойлно.

Идеал хийний тэгшитгэл:

p v  = n R T

(даралт, Pa) (хурд, m/s) =  (шингэн эсвэл хийний молекулын тоо хэмжээ, mol)(универсаль хийний тогтмол, 8.314 J·K⁻¹mol^-1)(Температур, K)

Жишээ:

Идеал хийний тэгшитгэл нь хуурай агаар дээр бодогдвол:

p v = R^* _{хуурай агаар} Т

 R^* _{хуурай агаар} = 286.9 J /(kg K)

 болох бөгөөд (R^* _{хуурай агаар} )нь  хуурай агаарын молекулын тоо хэмжээ болон универсаль хийний тогтмолыг нэгтгэн бодсон тогтмол юм.

 R^* _{хуурай агаар} = (универсаль хийний тогтмол, 8.314 J·K⁻¹mol^-1 )/ (Хуурай агаарын молекулын масс, 28.96×10^-3 kg/mol) = 286.9 J /(kg K)

 Идеал хийний тэгшитгэл нь нэгэн хийний хоёр өөр төлөв байдлыг харьцуулсан тохиолдолд

 p₁ v₁ / T₁ = p₂ v₂ / T₂

болно.

Хэрэв температур нь энэ явцад тогтмол байвал тэгшитгэл нь

p v  = тогтмол тоо

болох бөгөөд энэ тэгшитгэлийг Бойлийн Хууль (Boyle’s Law) гэнэ.

Термодинамикийн процессууд ба идеал хийний тэгшитгэл:

Термодинамикийн Адиабат (adiabatic) процессийн явцад дулааны алдагдал гардаггүй.  Изэнтропи процесс нь нэгэн адиабат процесс бөгөөд изэнтропи процессийн явцад энтропи тогтмол байдаг.  Изэнтропи процесс нь эргэлтэнд ордог (хуучин байдалдаа эргэж ордог) процесс юм.

Изэнтропи процессийн явцад идеал хийний тэгшитгэл нь

pv^к = тогтмол тоо

к = c_p / c_v

гэсэн байдалтай байнa.

• c_p нь тогтмол даралтын нөхцөлд байх дулааны багтаамж буюу тодорхой дулаан (specific heat capacity)
• c_v нь тогтмол эзэлхүүнтэй нөхцөлд байх дулааны багтаамж

болно.

Дээрхи тодорхойлолтууд болон бусад термодинамик процессууд Термодинамик бүлэг дээр дэлгэрэнгүй тайлбарлагдсан байгаа болно.

Дууны Хурд:

Дууны хурд нь c гэж тэмдэглэгдэх бөгөөд дуу дамжин явах шингэн буюу хийний шахагдмал чанараас шалтгаалан өөр өөр байдаг.  Идеал хийн дунд явах дууны хурд нь

c = (k R T) ^½

байна.  Агаарын хувьд k = 1.40, молекулын масс нь 29 g/mol гэж тооцон дууны хурдыг бодно.

III Шингэнийг хэмжих нь

Pitot Tube – Пито гуурс:

http://nptel.iitm.ac.in/courses/Webcourse-contents/IIT-KANPUR/FLUID-MECHANICS/lecture-16/images/fig_16.3.gif

Пито гуурс нь шингэний даралтыг болон хурдыг хэмжигч багаж юм.  Пито гуурсны амсраар орох шингэний хурдны болон статик даралтын түлхэлт нь шингэнийг гуурсаар өсгүүлэн явуулсаар зогсох бөгөөд тэрхүү зогсолт дээрхи даралт нь шингэн дээрхи нийт даралт буюу зогсонги байдлын даралт гэж нэрлэгднэ.

Бернуллийн тэгшитгэлийг ашиглан шингэний хурдыг даралтын хэмжээсээс олж болно:

Даралтын түлхэлт + хурдны түлхэлт = нийт түлхэлт

p_s / ρ + v2 / 2 = p₀ / ρ

v = (2 (p0 – ps) / ρ) ^½

Вентурын хэмжигч хоолой:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/78/VenturiFlow.png

Шингэний урсгалын хэмжээг (Q) Вентурын хэмжигч хоолойгоор бодож олж болно.  Вентурын хоолойн бүтэц нь голчоороо (диаметр) өргөсөн нарийсах хоолойтой холбогдсон манометр хэмжигчээс бүрднэ.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Venturifixed2.PNG/800px-Venturifixed2.PNG

Шингэний урсгалын хэмжээг бодохдоо Вентурын хоолойгоор хэмжигдсэн даралтын өөрчлөлт болон хоолойны голчын талбайг ашиглана:

http://upload.wikimedia.org/math/b/3/9/b3957d5041a88a931b9cc42b0c9b71b6.png

Урсгалын боолт ашиглан хэмжих:

Шингэн дамжуулах хоолойн голч диаметрийг нарийсгах зориулалттай нүхтэй шургуулга таваг (orifice plate) гэх мэт зүйлсийг урсгалын боолт гэж нийтэд нь нэрлэж болно.

Боолт ашигласан нөхцөлд гурван янзын голч диаметр хэмжигдэхүүн байдаг.  Тэдгээр нь хоолойн голч, тавагны нүхний голч (orifice diameter), Вена-контракта голч диаметр нар юм.  Вена-контракта диаметр нь урсгалын хамгийн бага хэмжээтэй голчыг тодорхойлох бөгөөд шургуулга тавагны нүхнээс урсгал гарч явсны дараахан ажиглагдах голч юм.

Голчын багасалтын коэффициент нь (contraction coefficient, C_c) хоолойны Вена-контракта талбайг боолтын нүхний талбайтай харьцуулсан коэффициент болно.

C_c = А_vc / A₂

 Хэмжүүрийн урсгалын коэффициент, С, нь:

 С = C_c / {(1 – C_c ²) (A₂ / A₁) ²}^1/2

болно.

Урсгалын хэмжээ нь:

Q = CA ₂ (2(p₁/ ρ – p₂/ ρ))^1/2

байх бөгөөд хэрэв потенциал энергийн ялгаа (өндрийн ялгаа, z) байгаа нөхцөлд

Q = CA ₂ (2(p₁/ ρ – p₂/ ρ + gz₁ – gz₂))^1/2

болно.

Агуулах хооронд дамжих урсгал:

Урсгал нь нэг агуулахаас нөгөөрүү шилжин орох нөхцөлд урсгалын хэмжээг бодох томъёо нь урсгалын боолтын шургуулга таваг хэрэглэгдсэн нөхцөлтэй ижил төстэй байна.  Харин статик даралтууд нь энэ нөхцөлд ижилхэн байх бөгөөд урсгалын хэмжээний томъёо нь

Q = C_c A (2 g (h₁ – h₂))^1/2

болно.

 

Агуулахаас шингэн шууд агаарлуу гадагшилж байгаа нөхцөлд урсгалын хэмжээ нь

Q = CA (2 g h)^1/2

болно.

IV Хэмжээсийн анализ (Dimensional Analysis)

Аливаа үзэгдлийг олон хэмжигдэхүүнүүдээр дүрслэн тэгшитгэл гаргаж авахыг хэмжээсийн анализ буюу dimensional analysis гэнэ.

Хэмжээсийн анализ хийгдэх явцад чухам ямар хэмжигдэхүүн нь үзэгдэлд нөлөөлж байгааг мэдэх чухал байдаг.  Гол хэмжигдэхүүнүүд болох масс, уртын хэмжээ, цаг, температур зэргийг MLθT систем гэж нэрлэнэ.

π-теорем

π-теорем нь хэмжээсийн анализийг хялбарчилсан теорем юм.  Аливаа үзэгдлийг дүрслэх тэгшитгэл нь олон хэмжигдэхүүнүүдээс гадна (масс, цаг, гэх мэт) хэмжигдэхүүнгүй тогтмол тоонуудаас бүрднэ.

Эдгээр хэмжигдэхүүнгүй тогтмол тоонуудыг π гэж тодорхойлвол тухайн тэгшитэл нь

f (π₁, π₂, π₃, …, π_k) = 0

болно.  к нь хэдэн ширхэг хэмжигдэхүүнгүй тогтмол тоо тэгшитгэлд байгааг илэрхийлж байна.

Хэрэв m нь нийт хэмжигдэхүүнүүд болон хэмжигдэхүүнгүй тоонууд, n нь гол хэмжигдэхүүнүүд гэж үзвэл

к = m – n

болно.

Жишээ 1: Шингэний хутгуур

Шингэний хутгуурын цахилгаан хэрэглээг бодоё.  Тэгшитгэл нь шингэний нягт (масс/урт3), дотоод үрэлт буюу наалдамхай чанар (масс/(цаг х урт)), хутгуурын диаметр (урт) , мөн хутгуурын эргэлтийн хурд (урт/цаг) гэсэн хэмжээсүүдээс бүрдэж байна гэж таамаглая.  Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдээс гол хэмжигдэхүүнүүд нь урт, масс, цаг гурав болно.  Тиймээс

нийт хэмжигдэхүүнүүд нь, m = 5

Гол хэмжигдэхүүнүүд буюу фундаментал хэмжигдэхүүнүүд нь, n = 3

Хэмжээсгүй тогтмолууд нь, k = m – n = 2

болно.

Жишээ 2: Атомын бөмбөг

Анхны атомын бөмбөгийн тэсрэлтийн энергийн ялгаралтыг эрдэмтэн Жеоффри Тэйлор бодсон нь:

Атомын бөмбөгийн тэсрэлт нь тэсрэлтийн хугацаа, нэг цэгт ногдох энерги, тэсрэлтийн долгионы радиус, агаарын даралт, агаарын нягт гэсэн таван хэмжигдэхүүнээс бүрднэ.

m = 5.

Эдгээрээс гол хэмжигдэхүүнүүд нь масс, урт, цаг гурав л байна.

n = 3

Тиймээс k = m – n = 2, буюу 2 хэмжигдэхүүнгүй тогтмол тэсрэлтийн  тэгшитгэлд байна.

V Загвар харьцуулалт / Prototype/ Прототип

Бүрэн хэмжээний модел загварыг хийхийн тулд жижиг хэмжээтэй хийгдсэн prototype загвар дээр туршилт анхлан хийгддэг.  Prototype жижиг загварын ажиллагаа, гүйцэтгэл, чанар нь бүрэн хэмжээний моделийн ажиллагаа гүйцэтгэл, чанар зэргийг урьдчилан харуулж байх учиртай.

Prototype нь бүрэн хэмжээний моделийн чанарыг бүрэн гаргаж байвал бүрэн хэмжээний моделтэйгээ механикийн хувьд ижил төстэй гэж хэлнэ.  Механикийн хувьд ижил төстэй байдал нь дотроо геометрийн хувьд ижил төстэй, кинематикийн хувьд ижил төстэй, мөн динамикийн хувьд ижил төстэй гэж хуваагдна.

Геометрийн ижил төстэй байдал нь prototype нь хураангуйлсан хэмжээгээрээ (масштаб) урт, өргөн, талбай, эзэлхүүн зэргээрээ моделтэйгээ ижил төстэй байхыг хэлнэ.

Кинематик ижил төстэй байдал нь prototype ба моделийн урсгалын шинж чанар нь адилхан байна гэсэн үг.

Динамик ижил төстэй байдал нь prototype ба модел дээрхи үйлчлэх хүчнүүдийн харьцаа нь ижилхэн гэсэн үг.

Динамик ижил төстэй байдал байхын тулд prototype-ийн биеийн бүх цэгүүд дээрхи бүх төрлийн хүчнүүд нь модел дээрхи хүчнүүдтэй ижил харьцаатай байх ёстой.  (Таталцлын хүч, наалдамхай чанар, инерци, өнгөц татал зэрэг олон төрлийн хүчний харьцаа)

Доорхи тэгшитгэлүүд нь prototype моделийн динамик ижил төстэй байдлыг харуулна.

[F_I / F_P]_P = [F_I / F_P]_M  

[F_I / F_V]_P = [F_I / F_V]_M  

[F_I / F_G]_P = [F_I / F_G]_M  

[F_I / F_E]_P = [F_I / F_E]_M  

[F_I / F_T]_P = [F_I / F_T]_M  

 

M – модел

P – prototype

F_I – инерцийн хүч

F_P – даралтын хүч

F_G– дэлхийн татах хүч

F_T – өнгөц таталтын хүч (surface tension force)

F_V – дотоод үрэлтийн хүч / наалдамхай байдал / (viscous force)