3. Хөндлөвч дээрхи материалын механик

I. Зүсэлтийн хүч ба мушгих момент

Нэмэх/хасах тэмдэг илэрхийллийн журам

Хөндлөвч дээрхи нэгэн хэсэг газрын зүсэлтийн хүч нь хөндлөвчийн нэг захаас тухайн хэсэг хүртэлх бүх босоо чиглэлийн хүчнүүдийн нийлбэр байна.

Зүсэлтийн хүч = V = Σ F_↑↓

Хөндлөвч дээрхи мушгилтын хүч буюу момент нь тухайн хэсгээс хөндлөвчийн зах хүртэлх бүх моментуудын (хүч ба зайны үржвэр) нийлбэртэй тэнцүү байна.

Мушгих хүч = М = Σ F×d + ΣM

Мушгилтын хүчний тэмдгийн илэрхийлэл нь зураг дээр харуулснаар хөндлөвчийг дээш нь мушгисан чиглэлтэй байвал (хөндлөвчийн дээд хэсэг нь шахалтанд, доод хэсэг нь таталтанд) нэмэх тэмдгээр, доошоо мушгисан байвал (хөндлөвчийн дээд хэсэг нь таталтанд, доод хэсэг нь шахалтанд) хасах тэмдгээр илэрхийлэгднэ.

Зүсэлт ба моментийн харьцаа

Ачааллын функцын интеграл нь зүсэлтийн хүчтэй тэнцүү байна.

∫_х1 ^х2 w(x) dx = V₂ – V₁

Зүсэлтийн хүчний диаграм нь хөндлөвч дээрхи босоо чиглэл дэх хүчнүүдийг илэрхийлэн зурсан зураг болно.

Хөндлөвч дээрхи хүчнүүдийн диаграммаас зүсэлтийн диаграмыг үүсгэн зурна.

Моментийн буюу мушгилтын диаграм нь зүсэлтийн хүчний диаграмын өөрчлөлтийн хэмжээ буюу уламжлал нь (d/dx) зүсэлтийн хүчний диаграм болж зурагдна.  Доорхи жишээнүүд дээр зүсэлтийн ба мушгилтын диаграмуудыг гарган зурсан нь харагдаж байна.

http://www.ecourses.ou.edu/ebook/statics/ch08/sec082/media/d8241h.gif

http://www.ecourses.ou.edu/ebook/mechanics/ch03/sec032/media/d3241g.gif

Моментийн өөрчлөлт нь зүсэлтийн хүчний функцын интегралтай тэнцнэ.

∫_х1 ^х2 V(x) dx = М₂ – М₁

Энэ нь мушгилтын функцын уламжлал нь зүсэлтийн хүч гэсэн үг.

V(x) = d M(x)/dx = V(x)

Зүсэлт/моментийн диаграмaaр зургаар илэрхийлэх нь томъёон илэрхийллээс илүү хялбар бөгөөд амар учраас зүсэлт ба моментийн диаграм өргөнөөр хэрэглэгддэг.

Зүсэлт/моментийн диаграмд мөрдөх журмууд нь:

• Зүсэлтийн хүч нь тухайн хүчний үйлчлэх хэсгээс хөндлөвчийн зах хүртэлх бүх хүч реакцуудын нийлбэртэй тэнцнэ.
• Момент функцын өөрчлөлтийн хэм хэмжээ нь зүсэлтийн хүчээр илэрхийлэгднэ.
• Дээшээ чиглэсэн хүч ба моментууд нь нэмэх тэмдгээр илэрхийлэгднэ.  Доошоо чиглэсэн нь хасах тэмдгээр илэрхийлэгднэ.
• Нэгэн жигд ачааллын зүсэлтийн диаграм нь шулуун налуу зургаар зурагдна.
• Нэг цэг дээр төвлөрсөн хүч буюу реакцаас өөр нэгэн төвлөрсөн хүчний хоорондох зүсэлтийн хүчний зураг нь шулуун шугамаар илэрхийлэгднэ.
• Төвлөрсөн хүч дээрх зүсэлтийн хүч нь тодорхойгүй гэж тооцогдно.
• Хөндлөвчийн шахалтанд орсон хэсэг дээр моментийн диаграм зурагдна.
• Моментийн өөрчлөлт нь зүсэлтийн диаграмын интеграл болж зурагдна.  Нэгэн цэгт төвлөрсөн момент нь диаграм дээр тасралт/тасалдал болж зурагдна.
• Моментийн дээд хэмжээ (максимум) нь зүсэлт 0 байх цэг дээр байна.
• Доош чиглэлтэй нэгэн жигд ачааллын моментийн зураглал нь доош харсан парабол байна.

II. Хөндлөвч дээрхи даралтууд

Нугаралтын (муруйлтын) даралт

Мушгилт нугаралтанд орсон хөндлөвчийн хэсэглэсэн талбай дээр эгц буюу нормал даралт үйлчлэнэ.  Энэ даралтыг нугаралтын даралт гэж илэрхийлнэ.  Хөндлөвчийн дээд талын хэсэг нь шахалтанд, доод талын хэсэг нь таталтанд орсон нөхцөлд (нэмэх тэмдэгтэй момент) энэхүү хөндлөвч нь доорхи зурагт харуулсан мэт байдалтай байна.  Нугаралтын шахах даралт (compression) ба таталтын даралт (tension) нарын дунд байх завсрын тэнхлэг (neutral axis) дээр даралт огт үйлчлэхгүй.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3a/Internal_Forces_and_Stresses_from_Bending.png

http://www.ecourses.ou.edu/ebook/mechanics/ch04/sec041/media/d4122.gif

http://www.ecourses.ou.edu/ebook/mechanics/ch04/sec041/media/d4123.gif

Нугаралтын даралт (bending stress) нь завсрын тэнхлэгтэй хэр зэрэг зайтай байхаас хамааран өөрчлөгднө.

Нугаралтын даралт = σ_b = -(Мушгих хүч)(зай) / (талбайн инерцийн момент) = – My/I

Дээд хэмжээний буюу максимум нугаралтын даралт нь хөндлөвчийн завсрын бүсээс дээд зах хүртэлх зайнд байна.  Энэ зайг с гэж илэрхийлвэл

Максимум нугаралтын даралт = σ_b = -(Мушгих хүч)(дээд зах хүртэлх зай) / (талбайн инерцийн момент) = Mc/I

Стандарт хэмжээстэй хөндлөвч ба барилга угсралтын материалуудын хувьд талбайн инерцийн момент ба дээд зах хүртэлх зай нь хэвшмэл бөгөөд тогтмол байх учраас эдгээрийн харьцааг

S = I/c

гэж илэрхийлдэг.

Эндээс нугаралтын даралтыг

σ_b = М/S

гэж илэрхийлж болно.

Зүсэлтийн (шүргэлтийн) даралт

Хөндлөвчийн хэсэглэл дээрхи зүсэлтийн даралтын тархац нь зураг дээр харуулснаар байна.

http://www.ecourses.ou.edu/ebook/mechanics/ch04/sec043/media/d4328.gif

http://www.ecourses.ou.edu/ebook/mechanics/ch04/sec043/media/d4329.gif

Зүсэлтийн даралт нь хөндлөвчийн дээд ба доод хязгаарт 0 байх бөгөөд завсрын тэнхлэг дээд дээд хэмжээтэй (максимум) байна.

Хөндлөвчийн зүсэлтийн даралт = τ = VQ/Ib

I = талбайн инерцийн момент

b = хөндлөвчийн өргөн

Q = талбайн статик момент (statical moment of area) = ∫ _х1 ^х2 y dA

Тэгш өнцөгт талбайтай хөндлөвчийн хувьд

Q = (у-аас хөндлөвчийн зах хүртэл үүссэн талбай, А’)(завсрын тэнхлэгээс A’ талбай хүртэлх зай) = A’y’

байна.  Зураг харна уу.

Дөрвөлжин/тэгш өнцөгт талбайтай хөндлөвч дээрхи дээд хэмжээний (максимум) зүсэлтийн даралт нь

τ_{max,rectangle} = 3V/(2A) = 3V/(2bh)

τ_max,circle = 4V/(3A) = 4V/(3πr²)

байна.

I-хэлбэртэй хөндлөвч дээрхи зүсэлтийн даралт нь

τ_I-beam= V/A= V/(d b)

байна.  b нь голч төмрийн зузааны хэмжээ болно.  Зураг харна уу.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/09/I-BeamCrossSection.svg/200px-I-BeamCrossSection.svg.png

III. Хөндлөвчийн муруйлт/хазайлт

Доорхи тэгшитгэл нь мушгих моментийн нөлөөндөх хөндлөвчийн мурийлтыг харуулж байна.

1/ρ=ε_max/c = M/EI = d²y/dx² = dθ/dx

ρ = мурийлтын радиус

c = завсрын тэнхлэгээс хөндлөвчийн зах хүртэлх максимум зай

ε_max = хөндлөвчийн дээд хэмжээний (максимум) суналт (урт тэнхлэгээр)

Е = уян хатны модуль

у = мурийлтын хэмжээс (босоо тэнхлэг дээр)

х = мурийлтын хэмжээс (хөндлөн тэнхлэг дээр)

Эндээс мушгилт, зүсэлтийн хүч, ачаалал зэргийн харьцааг ашиглан доорхи тэгшитгэлүүдийг гаргаж болно

y’ = dy/dx = мурийлтын харьцаа

y” = d²y/dx² = M(x)/(EI)

y”’ = d³y/dx³ = V(x)/(EI)

y”” = d⁴y/dx⁴ = w(x)/(EI).

Хэрэв момент буюу мушгилтын функц нь мэдэгдэж байгаа нөхцөлд доорхи тэгшитгэлийг ашиглан хөндлөвчийн дурын цэг дээрхи муруйлтыг олж болно.

EIy = ∫∫M(x) dx

Доорхи зургуудаас элбэг хэрэглэгдэх хөндлөвчийн муруйлтын тэгшитгэлүүдийг олж болно.

http://www.ejsong.com/mdme/memmods/MEM23061A/Bending/Bending_files/BeamBendingTable1.GIF

http://web.mit.edu/course/3/3.11/www/Beamtheory3.gif

 IV. Нийлмэл хөндлөвч

Нийлмэл бүтэц нь олон төрлийн материалаас бүрдсэн бүтцийг тодорхойлно (жишээ нь төмөр бэхжүүлэлттэй бетон).

Энгийн нийлмэл бүтцүүдийг `суналтын тогтвортой байдлын арга`-аар (method of consistent deformations) бодно.  Энэ арга нь материалуудын завсрын бүс нь нэгэн адил хэмжээний суналттай байна гэж авч үзсэн арга болно.

Уян хатны модуль-уудыг материал тус бүр бодож харьцуулсан харьцааг модулын харьцаа гэнэ.

n = E₁/E₂

Хоёр материалуудын уян хатны чанар багатайг (илүү хатуу) нь 1 тоогоор тэмдэглэвэл тухайн материал дээрхи даралт нь

σ₁ = nF/A_Δ

болно.  A_Δ нь даралтын нөлөөнд өөрчлөгдсөн нийлмэл талбай болно (завсрын бүс дээрхи өөрчлөлтөнд орсон талбай).

Нөгөө материал дээрхи даралт нь

σ₂ = F/A_Δ

болно.

Муруйлтанд орсон хөндлөвчийн хувьд

σ₂ = Mc/I_AΔ

σ₁ = n Mc / I_AΔ

болох бөгөөд нь өөрчлөгдсөн нийлмэл талбайн (A_Δ) инерцийн момент болно.

2. Дулааны даралт, цагиргын даралт, мушгиралтын даралт

I Дулааны даралт

Аливаа биетийн температур өөрчлөгдэхтэй зэрэгцэн тухайн биетийн урт, талбай, эзлэхүүн зэрэгт өөрчлөлт орно.

Эдгээр өөрчлүүлэлтийн хэмжээ нь “α = дулааны тэлэлтийн коэффициент” -ээс шалтгаалдаг.  Дулаанаас шалтгаалах өөрчлөлт буюу дулааны деформаци (δ_т)нь

δ_т = αL(T – T₀)

болно.  L нь нийт урт ба Т₀ нь анхны температур, Т нь хэмжигдэж байгаа температур болно.

Эндээс дулаанаас үүсэх суналт буюу дулааны суналтыг олвол

ε_т = δ_т / L = α(T – T₀)

болно.  Хукын хуулийг ашиглавал (σ = Eε) дулааны даралтыг дулааны суналтаас олж болно.

σ_т = Eε_т

Дулааны тэлэлтийн коэффициент багатай материал нь дулааны даралтанд бага өртөж дулааны өөрчлөлтөнд илүүтэй тэсвэртэй байдаг болно.

Дулааны тэлэлтийн коэффициентүүдийн жишээ

материал                    1/˚C

хөнгөн цагаан            23.6 ×10^-6

ширэм                         12.1 ×10^-6

ган                               11.7×10^-6

мод                              3×10^-6

II Цагиргын даралт: нимгэн ханатай агуулах ба хоолой

Цилиндр хэлбэртэй хоолойны хананы зузаан ба радиусын харьцаа нь 0.1-ээс бага байвал тухайн хоолойг нимгэн ханатай гэж, 0.1-ээс их байвал зузаан ханатай гэж тодорхойлно.

t/r < 0.1 [нимгэн]

t/r > 0.1 [зузаан]

Агуулах дээр цагиргын даралт буюу тойргын даралт (σ_h = circumferential stress), радиусын даралт (radial stress), тэнхлэгийн даралт (σ_a = axial stress), дотоод даралт (p = internal pressure) нар үйлчлэнэ.

Нимгэн ханатай агуулах дээр радиусын даралт өчүүхэн хэмжээтэй учраас байхгүйд тооцон бодлого бодогдно.   Харин зузаан ханатай агуулах дээр радиусын даралт нь их хэмжээтэй байх бөгөөд радиусын ба тэнхлэгийн даралт нь байрлалаас шалтгаалан агуулахын ханан дээр өөр өөр байна.

р хэмжээтэй дотоод даралттай нимгэн ханатай агуулахын цагиргын даралт нь доорхи томъёогоор бодогдно.

σ_h = p × r / t

Хананы тэнхлэгийн дагуух даралт нь доорхи тэгшитгэлээр тодорхойлогдно.

σ_a = p × r / 2t = σ_h / 2

Нимгэн ханатай агуулахын гол даралт нь σ_h / 2 хэмжээтэй байх бөгөөд гадаргаас 45 хэмийн өнцгийн хазайлтын чиглэлтэй байна.

III Цагиргын даралт: зузаан ханатай агуулах ба хоолой

Дээр тодорхойлсончлон зузаан ханатай агуулах нь t/r > 0.1 нөхцлөөр тодорхойлогдно.  Зузаан хананы гадаад радиус ба дотоод радиус нь r_o ба r_i гэж тэмдэглэгдэн дотоод ба гадаад даралтууд нь p_i ба p_o гэж тэмдэглэгднэ.  Зузаан ханатай агуулахын дээд хэмжээтэй даралтууд нь (радиусын, цагиргын, тэнхлэгийн) агуулахын дотоод хананд оршно.

Зузаан ханатай агуулах дээр дотоод даралт зөвхөн үйлчилсэн нөхцөлд (p_i) цагиргын максимум даралт нь

σ_h, max = p_i(r²_o + r²_i) / (r²_o – r²_i)

радиусын максимум даралт нь

σ_r, max = – p_i

тэнхлэгийн даралт нь

σ_а, max = F/A = p_iπr²_i / (π(r²_o – r²_i)) = p_i r²_i /(r²_o – r²_i)

болно.

Зузаан ханатай агуулах дээр зөвхөн гадаад даралт үйлчилж байгаа нөхцөлд (p_o)

σ_h, max = – p_o(r²_o + r²_i) / (r²_o – r²_i)

σ_r, max = – p_o

байна.

IV Мушгиралтын даралт

Арал тэнхлэг (шахт, иш, г.м.) буюу хөдлөх гол (shaft) нь мушгилтын хүчинд орсон нөхцөлд тухайн тэнхлэг дээр шүргэх даралт (shear stress) үйлчлэнэ.  Радиус нь r гэж тодорхойлогдсон арал тэнхлэгийн мушгих хүчийг (torque) Т гэж тодорхойлвол шүргэлтийн даралт нь

τ = Тr/J

бөгөөд J нь арал тэнхлэгийн поляр инерцийн момент болно.  Арал тэнхлэг нь хөндий биш бүтэн байвал

J = πD⁴/32

бөгөөд дотроо хөндий буюу нүхтэй тэнхлэгийн поляр инерцийн момент нь

J = π(D⁴_о – D⁴_i )/32

D⁴_о = гаднах диаметр

D⁴_i = дотоод диаметр

болно.

L урттай арал тэнхлэгийн мушгилтын өнцөг нь

φ = TL/(GJ)

гэж тодорхойлогддог бөгөөд арал тэнхлэгийн мушгилтын эсэргүүцлийн тогтмол нь

k = T / φ

гэж тодорхойлогдно.

Нүхтэй хоолойн ханан дээрхи шүргэлтийн буюу зүсэлтийн даралт нь дээрхи зурагт дүрслэгдсэн хэмжээсүүдтэй бол

τ = Т/(2At)

гэж тодорхойлогдно.

Шүргэлтийн урсгал буюу зүсэлтийн урсгал нь

q  = τ t = Т/(2A)

гэж тодорхойлогдно.

1. Даралт ба суналт / stress and strain /

I Тодорхойлолтууд

Материалын механик нь материалын уян хатан чанар болон бат бөх чанарын судалгаа юм.  Материалын механикийг ашиглан биет болон эд анги дээрхи даралт, биетийн өөрчлөлт ба суналт зэргийг бодон олдог.  Материалын механик нь тэнхлэгийн дагуу ачаалалсан даралт, мушгиралтын хүчинд байгаа биетийн эд анги, хоолойн хананд өгөх даралт болон ачаалал, хөндлөвч, багана дээрхи анализ зэргийг бодоход хэрэглэгдэх бөгөөд статикаар бодох боломжгүй бодлогуудыг бодоход хэрэглэгднэ.

Даралт буюу хүчдэл / stress /

Даралт нь талбайд оногдох хүчний илэрхийлэл болно (N/m²).  Даралт нь хоёр төрлөөр ангилагдах бөгөөд тэдгээр нь эгц даралт /normal stress/ ба шүргэх даралт /shear stress/ болно.  Эгц даралт буюу нормал даралт нь хүч талбайтай эгц үйлчлэх нөхцлийг илэрхийлэх бол шүргэх даралт нь хүч талбайтай параллель үйлчлэх нөхцлийг тодорхойлно.

эгц даралт = σ = F_эгц / A

шүргэх даралт = τ = F_{параллель} / A

 Суналт /strain/

Суналт нь механик ачааллаас үүссэн биетийн уртын өөрчлөлтийг илэрхийлнэ.  Суналт нь уртын хэмжээст гарсан өөрчлөлтийг илэрхийлэх учраас {уртын өөрчлөлт/нийт урт} гэсэн хэмжигдэхүүнтэй байна (δ / L =m/m).  Эгц даралтаас үүссэн суналт нь уртрагын дагуух суналт (longitudinal) буюу эгц суналт гэж нэрлэгдэх бөгөөд шүргэх даралтаас үүссэн суналт нь шүргэлтийн (зүсэлтийн) суналт гэж нэрлэгднэ.  Шүргэлтийн (зүсэлтийн) суналт нь өнцгөн суналт гэж бас тодорхойлогдох бөгөөд өнцгөөр бас тодорхойлогдож болно.

 эгц суналт = ε = δ / L

шүргэлтийн/зүсэлтийн  суналт = γ = δ_{параллель} / өндөрлөг = tan θ

 Даралт ба суналтын харьцаа / Хукын хууль (Hooke’s Law) 

Даралт ба суналт нь хоорондоо пропорционал харьцаатай бөгөөд Хукын хуулиар (Гукын/Hooke’s) тодорхойлогдно.

Хукын хууль:

эгц даралт = (эгц суналт) (уян хатны коэффициент)

= σ = Eε

Уян хатны коэффициент буюу уян хатны модуль нь бас Янгын модуль гэж нэрлэгддэг (Young’s modulus).

Суналтын харьцаа:

Тэнхлэгийн дагуу хүч үйлчлэх нөхцөлд тэнхлэгийн дагуу суналт үүсэх ба мөн тэнхлэгээс хажуугийн чиглэлд суналт үүснэ.  Энэ суналтуудын харьцааг Пойссоны харьцаа гэж нэрлэх бөгөөд тодорхойлогдох нь:

ν = – ε_{хажуугийн} / ε_{тэнхлэгийн}

Шүргэлтийн (зүсэлтийн) хүч ба өнцгөн суналт нь пропорциональ байна.

τ = G γ

G нь шүргэлтийн коэффициент буюу хатуу чанарын коэффициент болно.

Эдгээр коэффициентүүд нь хоорондоо харьцах тэгшитгэл нь

G = E / (2(1+ γ))

болно.

 II Нэг тэнхлэгийн дагуух ачаалал ба суналт

Нэг тэнхлэгийн дагуу биет дээр таталтын ачаалал өгөгдөж байвал суналтыг нь нэмэх тэмдгээр тэмдэглэж эерэг гэж үзэх бөгөөд харин шахалтын ачаалал өгөгдөж байвал суналтыг хасах тэмдгээр тэмдэглэж сөрөг гэж үзнэ.

Суналтын тэгшитгэл нь хялбарчлагдан

ε = δ / L = L (σ / E) = P · L / (A · E) = (даралт · нийт урт) / (талбай · уян хатны коэффициент)

гэж бичигдэж болно.  Хэрэв биетийн тэнхлэг дагуу хөндлөн огтлол талбай өөрчлөгдөж байвал

ε = Σ [P · L / (A · E)] = P Σ [L / (A· E) ] = P ∫ dL / (A·E)

болно.

 III Уян хатны потенциал энерги

Өөрчлөлтөнд орж сунасан биенд хадгалагдах энергийг уян хатны потенциал энерги буюу суналтын энерги гэнэ (elastic potential energy or strain energy).  Суналтын энерги нь биетийн суналтанд нөлөөлсөн хүчний ажилтай тэнцнэ.

ажил = хүч · зай

W = ∫ F · dL

Эзлэхүүн дээр хийгдсэн ажил =  ∫ F · dL / эзлэхүүн =  ∫ F · dL / (талбай · урт)

=  ∫ F · dL / (A · L) =  ∫ P · (dL/L) = ∫σ dε

болох юм.

Уян хатны потенциал энерги нь бас харимхай потенциал энергитэй ижил болно.  Нийт харимхай потенциал энерги нь

U = (1/2) k x²

гэж тодорхойлогдох бөгөөд k = EA/L байна.  Тиймээс

U = (1/2) (EA/L) dL²

бөгөөд

dL = ε  = (PL/AE)

учраас

U = (1/2) (EA/L) (PL/AE) ²

= P²L / 2AE

болно.

Нэгж эзлэхүүний суналтын энерги нь

u = U / эзлэхүүн = U / (A·L)

= P² / 2(A²E) = σ² /(2E)

IV Хоёр ба гурван тэнхлэгийн дагуу өгөгдсөн ачаалал

Биетийн өчүүхэн бага хэсэг дээр ачааллах даралтуудыг доорхи зураг харуулж байна.

Биетийн өчүүхэн бага хэсэг дээрхи даралтуудыг хоёр хэмжээс дээр харуулвал:

Сум заасан чиглэлүүд нь эерэг тэмдэгтэй чиглэлийг харуулж байна.

Даралт ба суналтын тэнхлэгийг шилжүүлэх нь

Хоёр тэнхлэг дээр өгөгдсөн даралт ба суналтыг өөр тэнхлэгрүү шилжүүлэн бодож болно.  Доорхи зургыг ажиглана уу.

Зурагт харуулснаар х,у тэнхлэгийг х`,у` тэнхлэгрүү шилжүүлсэн байна.  х`у` тэнхлэг нь θ өнцгөн хазайлтаар х,у тэнхлэгээс өөр байна.  Энэ тохиолдолд шилжүүлэгдсэн эгц ба шүргэх даралтууд нь доорхи тэгшитгэлүүдээр илэрхийлэгднэ.

σ_x’ = (σ_x + σ_y )/2 + ((σ_x – σ_y )/2)cos 2θ + τ_xy sin 2θ

σ_y’ = (σ_x + σ_y )/2 – ((σ_x – σ_y )/2)cos 2θ – τ_xy sin 2θ

τ_x’y’ = – ((σ_x – σ_y)/2) sin 2θ + τ_xy cos 2θ

V Гол даралтууд /principal stresses/

Ачаалалд орсон биет дээр шүргэх даралтны нөлөө байхгүй талбай байна.  Тэрхүү талбай дээрхи эгц даралтуудыг гол даралтууд гэж нэрлэнэ.  Тухайн талбай дээрхи дээд хэмжээний болон доод хэмжээний (maximum and minimum) даралтыг гол даралтууд тодорхойлно.

Гол даралтуудыг (σ₁ ,σ₂) өмнө тодорхойлсон тэнхлэг шилжүүлэх тэгшитгэлийн уламжлалыг θ-аар авч тэгтэй тэнцүүлэн буцаан орлуулж гаргаж бодно.  Гол даралтуудыг мөн доорхи хялбарчилсан тэгшитгэлээр олж болно:

σ₁ ,σ₂ = (σ_x + σ_y )/2 ± τ₁

= (σ_x + σ_y )/2 ± √( ((σ_x + σ_y )/2)²/ + τ²_х,у)

http://www.efunda.com/formulae/solid_mechanics/mat_mechanics/images/PrincipalStress.gif

Гол даралтуудын өнцөг нь х-тэнхлэгээс хэмжигдэх бөгөөд дээд хэмжээний даралт ба доод хэмжээний даралтууд нь хоорондоо 90-хэмийн зайтай байна.  Гол даралтуудын өнцгийг доорхи тэгшитгэл тодорхойлно:

θ _{σ1 ,σ2} = (1/2) arctan (2τ_х,у /(σ_x – σ_y ))

Шүргэх даралтын хамгийн их бөгөөд бага (maximum and minimum) хэмжээ нь

τ₁ , τ₂ = ± (1/2) √((σ_x – σ_y )² + (2 τ_х,у )² )

= ± (σ₁ – σ₂ )/2

байх бөгөөд шүргэх даралтын дээд ба доод хэмжээтэй байх өнцгүүд нь

θ _{τ 1 , τ 2} = (1/2) arctan ((σ_x – σ_y )/(-2 τ_x,y))

гэж тодорхойлогдно.

Мор-ын тойрог /Mohr’s Circle/

Мор-ын тойрог нь график дүрслэлийн аргаар гол даралтуудыг олоход хэрэглэгднэ.

График зураг дээр таталтын даралтыг нэмэх тэмдгээр, шахалтын даралтыг хасах тэмдгээр, нар зөв тэмүүлсэн шүргэх даралтыг нэмэх тэмдгээр, нар буруу тийш тэмүүлэлтэй шүргэх даралтыг хасах тэмдгээр илэрхийлнэ.

wikipedia

Мор-ын тойргыг зурах үе шатууд:

• тэнхлэгийн даралтуудыг бодож ол (σ_x, σ_y, τ_xy)
• босоо тэнхлэгээр шүргэх даралт τ, хөндлөн тэнхлэгээр эгц даралт σ тодорхойлон зур.
• тойргын төвийг буюу дундаж даралтыг доорхи тэгшитгэлээр бодож ол

σ_с = (1/2)( σ_х + σ_у)

• А (σ_у , τ_xy)ба В(σ_у , -τ_xy) цэгүүдийг тодорхойлон зур.  А ба В цэгүүдийг дайрсан шугам нь тойргын төвийг дайрна.  А ба В цэгүүдийг холбох шулууны урт нь тойргын диаметр байна.
• Тойрог нь хөндлөн тэнхлэгийг С ба  Е хоёр цэгээр дайрна.  Эдгээр цэгүүд нь гол даралтуудыг илэрхийлж байна (σ₁ ,σ₂).  Эдгээр цэгүүдийг тойргын тэгшитгэлээр илэрхийлвэл

σ₁ = σ_max = (σ_x + σ_y )/2 + √( ((σ_x + σ_y )/2)²/ + τ²_х,у)

σ₂ = σ_min = (σ_x + σ_y )/2 – √( ((σ_x + σ_y )/2)²/ + τ²_х,у)

            болно.

• Шүргэх максимум даралтыг тойргын зургаас

τ₁ , τ₂ = ± (1/2) √((σ_x – σ_y )² + (2 τ_х,у )² )

гэдгийг олж болно.

• Гол даралтын өнцгийг тойргоос олохын тулд АВ шулууны хөндлөн тэнхлэгтэй үүсгэх өнцгөөс

2θ = arctan (2τ_х,у /(σ_x – σ_y ))

гэдгийг эхлээд харж болно.  Гол даралтын өнцөг нь дээрхи өнцгийн хагастай тэнцнэ.

θ = (1/2) arctan (2τ_х,у /(σ_x – σ_y ))

 Суналтын ерөнхий тэгшитгэлүүд

Даралтаас үүссэн ачаалал доорхи биетийн суналтыг гурван хэмжээс дээр ерөнхий тэгшитгэлүүдээр илэрхийлж болно.

эгц суналт:

ε_x= (1/E) (σ_x –  ν(σ_y + σ_z))

ε_y= (1/E) (σ_y –  ν(σ_х + σ_z))

ε_z= (1/E) (σ_z –  ν(σ_y + σ_х))

шүргэлтийн суналт:

γ _xу = τ_ху /G

γ _yz = τ_yz /G

γ _zx = τ_zx /G

E = уян хатны модуль

G = шүргэлтийн/хатуу чанарын коэффициент

VI Нуралт /failure/

Биет дээрхи таталтын (tension) болон шахалтын (compression) дээд хэмжээний даралт нь материалын бат бөх чанарын хязгаараас илүү гарвал тухайн материал биет нь нуралтанд орно.

Аливаа материалын таталтыг эсэргүүцэх бат бөх чанарын хязгаар нь шахалтыг эсэргүүцэх бат бөх чанараас өөр байдаг.

Аюулгүйн хэмжээ буюу аюулгүйн фактор /factor of safety/

Материалын аюулгүйн хэмжээ нь тухайн материалын бат бөх чанарын хэмжээ буюу даац (S = strength) ба ачааллын даралтын харьцаагаар тодорхойлогдно.

Аюулгүйн хэмжээ = S / σ

Аюулгүйн хэмжээг (FS) урьдаас тодорхойлсон нөхцөлд материалд хэр зэрэг даралт өгч болохыг тодорхойлон тухайн даралтыг дээд хэмжээний өгч болох даралт (σ_max) гэж нэрлэнэ.

σ_max = S / FS

Дээд хэмжээний шүргэлтийн (зүсэлтийн)  даралт

Ган гэх мэт давталтанд орж болдог уян материалын даацыг (нуралтын хэмжээг) олж тодорхойлохын тулд дээд хэмжээний шүргэлтийн (зүсэлтийн) даралтыг олох шаардлагатай.

Материалын бат бөх чанарын хэмжээ нь шүргэлтийн (зүсэлтийн) даралтыг давах хэмжилтээр тодорхойлогдвол (shear strength or yield strength)

SS = ST / 2

болно.  ST нь материалын таталтын даралтыг давах бат бөх чанар болно.

Дээд хэмжээний шүргэлтийн даралт нь τ_max гэж тодорхойлогдвол тухайн материалын шүргэлтийн (зүсэлтийн) даралтыг даах хэмжээ (SS) нь шүргэлтийн (зүсэлтийн) дээд даралтыг давж байх ёстой

SS > τ_max

Шүргэх даралтын даацаар аюулгүй байдлын хэв хэмжээг тодорхойлвол

FS = ST / (2 τ_max)

 Нугаралтын Энергийн Онол

Ган гэх мэт уян хатан материалын нугаралт ба нуралтыг тодорхойлох нэгэн голчлох онол нь нугаралтын энергийн онол болно.  Энэ онолоор “эффектив даралтыг” голлох даралтуудаас гарган олно:

эффектив даралт = σ’ = √(σ²₁ –σ₁σ₂ + σ²₂)

Эффектив даралтыг бас Вон Мисес даралт гэж нэрлэнэ.  Гурван тэнхлэгийн ачаалал дээр эффектив даралт нь

σ’ = √((1/2)(( σ₁– σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² – (σ₃ – σ₁)²))

гэж тодорхойлогдно.

Аюулгүйн хэмжээ нь энэ нөхцөлд таталтын даралтын даац ба эффектив даралтын харьцаагаар тодорхойлогдно.

FS = ST / σ’

Материал нь зөвхөн мушгиралтанд орж нуралтанд орсон нөхцөлд шүргэлтийн даралтын даац нь шүргэлтийн дээд даралттай тэнцнэ.

SS = τ_max

Нугаралтын энергийн онолоор энэ нь

SS = τ_max = ST / √3

гэж тодорхойлогдно.

4. Энерги ба Ажил

I Тодорхойлолтууд

Аливаа массын энерги нь тухайн массын ажил хийх хүчин чадварыг илэрхийлнэ.  Энерги нь хадгалагдан сойгдох ба чөлөөлөгдөн тавигдна.  Хадгалагдан сойгдох энергийн төрлүүдээс нэрлэвэл механик энерги, дулааны энерги, цахилгааны энерги, соронзонгын энерги зэрэг болно.  Энерги нь эерэг тэмдэгтэй скаляр тоогоор хэмжигдэх бөгөөд энергийн өөрчлөлт нь системийн тодорхойлолтоос шалтгаалж эерэг ба сөрөг тэмдэгтэй байна.

Ажил нь массын энергийг солих хэмжээг илэрхийлсэн ухагдахуун болно.  Массын хөдөлгөөний чиглэлд ажил хийгдвэл тухайн ажлыг эерэг тэмдгээр (нэмэх) массын хөдөлгөөний эсрэг чиглэлд ажил хийгдвэл тухайн ажлыг хасах тэмдгээр илэрхийлнэ.

Ажлыг хүч ба тухайн хүчнээс шалтгаалсан хөдөлгөөний скаляр үржвэрийн интегралаар тодорхойлж болно.

W = ∫ F · dr

Кинетик энерги

Биетийн кинетик энерги нь тухайн биетийн хөдөлгөөнөөс үүсэл хамааралтай энергийг хэлнэ.

Биетийн шугаман кинетик энергийг тодорхойлвол

T_ш = (1/2) mv²

байх бөгөөд v нь тухайн биетийн хөдөлгөөний агшины хурд болно.  Биетийн эргэлтийн кинетик энерги нь

T_э = (1/2) I ω²

бөгөөд I нь инерцийн масс момент, ω нь биетийн өнцгөн хурд болно.  Биетийн нийт кинетик энерги нь

Т = (1/2) mv² + (1/2) I ω²

байна.  Эдгээр томъёонуудыг хэрэглэх нөхцөлд тухайн биет нь хатуу буюу нугардаггүй биет байх шаардлагатай.

Кинетик энергийн өөрчлөлтийг бодох нөхцөлд нэмэгдсэн хурдны квадратыг анхны хурдны квадратаас хасан бодно.  Хурдуудыг хасаад ялгаварыг нь квадрат болгохгүй байгааг анхаарна уу.

ΔТ = (1/2) m (v²₂ – v²₁)

Таталцлын потенциал энерги

Таталцлын потенциал энерги нь аливаа биетийн массны дэлхийн татах хүчний талбайтай харьцан байрлах байрлалаас хамааран эзэмших энергийг хэлнэ.

Өндөрлөгөөс хамааран потенциал энерги өөрчлөгднө.  Биетийн өндөрлөг нэмэгдэхтэй зэрэгцэн тухайн биетийн потенциал энерги нэмэгднэ.

U = mgh

Харимхай потенциал энерги

Пүрш гэх мэт харимхай биет багажинд тулгуурласан системийн потенциал энергийг харимхай потенциал энерги гэнэ.  Пүршний эсэргүүцлийн тогтмолыг k гэж тодорхойлвол пүршний харимхай потенциал энерги нь

U = (1/2) k x²

болно.  Пүршний эсэргүүцлийн хүчийг тодорхойлвол

F = kx

байх бөгөөд х нь пүршний шахагдсан (эсвэл сунасан) хөдөлгөөний зай болно.

Харимхай хүчний өөрчлөлтийн тэгшитгэл нь

ΔU = (1/2) k (x²₂ – x²₁)

юм.

II Энерги хадгалагдах хууль

Энерги нь шинээр үүсэхгүй бөгөөд устаж алга болохгүй.  Энерги нь хадгалагдан шилжин явна.  Тиймээс аливаа системийн нийт энерги нь тогтмол байх болно.

ΣE = тогтмол

Аливаа систем дээр гаднаас үйлдэгдсэн ажил нь тухайн системийн нийт энергийг өөрчлөнө.  Тухайн ажлыг олохын тулд системийн шинэ энерги ба анхны энергийн ялгаагаар бодно.

W = E₂ – E₁

Ихэнх тохиолдолд массын нийт энерги нь тухайн массын кинетик ба потенциал энергийн нийлбэртэй тэнцүү гэж үзнэ.  Энерги хадгалагдах хуулиар илэрхийлвэл энэ нь

Т₁ + U₁ = T₂ + U₂

юм.

Системийн гаднаас орж ирсэн энерги буюу ажлыг нэмвэл тэгшитгэл нь

Т₁ + U₁ = T₂ + U₂ + W

болно.

III Шугаман импульс

Шугаман импульс нь моментийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог.

Impulse = Δp = Δ(mv) [N · s]

Импульсийг бас хүч цагтай харьцан өөрчлөгдөх хэмжүүр гэж тодорхойлж болно.

Impulse = ∫ _t1 ^t2 F dt [N · s]

Эдгээр тэгшитгэлүүдийг тэнцүүлвэл

F (t₂ – t₁) = Δ(mv)

= m Δv

F = m dv / dt = ma [Ньютоны хоёрдугаар хууль]

болж харагдна.

IV Момент хадгалагдах хууль ба мөргөлдөөн

Хоёр биет нь тус бүр м₁ ба м₂ гэсэн масстай бөгөөд тус бүр v₁ ба v₂ гэсэн хурдтай биен биенрүүгээ чиглэн явсаар мөргөлдөж хурдууд нь өөрчлөгдөн v’₁ ба v’₂ болвол момент хадгалагдах хуулиар

м₁ v₁ + м₂ v₂ = м₁ v’₁ + м₂ v’₂

болно.

Хэрэв мөргөлдөөнөөр кинетик энерги ямар нэг хэмжээгээр алдагдсан бол `уян хатан бус мөргөлдөөн` гэж нэрлэнэ (inelastic).  Мөргөлдөөнөөр кинетик энерги огт алдагдаагүй нөхцөлд мөргөлдөө нь уян хатан гэж тооцогдно (elastic).  Энэ тохиолдолд

м₁ v²₁ + м₂ v²₂ = м₁ v’²₁ + м₂ v’²₂

байна.  Хэрэв мөргөлдөөнөөр нэг биет нь нөгөөдөө наалдаж нэгэн хурдтай цааш хөдөлвөл тэр нь `бүрэн хатуу` мөргөлдөөн гэж нэрлэнэ. (perfectly inelastic)

Мөргөлдөөний уян хатан чанарыг тодорхойлохын тулд хурдуудыг харьцуулна.

e = (салалтын харьцангуй хурд) / (ойртолтын харьцангуй хурд)

= (v’₂ – v’₂ ) / (v₁ – v₂)

e = 1 [бүрэн уян хатан, perfectly elastic]

e = 0 [бүрэн хатуу (уян хатан бус), perfectly inelastic]

e < 1.0 [хатуу буюу уян хатан бус]

3. Эргэх хөдөлгөөний кинетик

I Инерцийн масс момент

Инерцийн масс момент (I) нь биетийн аливаа тэнхлэгийг тойрох хөдөлгөөнийг эсэргүүцэх чанарыг илэрхийлнэ.  Х тэнхлэгийг тойрох хөдөлгөөнийг эсэргүүцэх чанар буюу х тэнхлэгийн инерцийн масс моментийг I_x, у тэнхлэгийн инерцийн масс моментийг I_y гэхчлэн нэрлэнэ.  Инерцийн масс момент тодорхойлогдохдоо:

I_x = ∫(z² + y²) dm

I_y = ∫(x² + z²) dm

I_z = ∫(x² + y²) dm

Төв цэгийн инерцийн масс момент буюу центройдын инерцийн масс момент нь (centroidal mass moment of inertia) нь биетийн жингийн төв цэгийг дайрсан тэнхлэгийн инерцийн масс моментийг тодорхойлно.  Центройдын инерцийн масс момент нь мэдэгдэж байгаа нөхцөлд тухайн биетийн инерцийн масс моментийг өөр тэнхлэг дээр бодож болно.  Үүний тулд параллел тэнхлэгийн теорем ашиглагдна.

I_{параллель тэнхлэг} = I_c + md²

d нь параллель тэнхлэг болон центройдыг дайрсан тэнхлэгийн хоорондох зай, m нь биетийн масс болно.

Аливаа биетийн огтлолын инерцийн радиус (radius of gyration) нь тухайн биетийн массыг тэр чигт нь нүүлгэн инерцийн масс моментийг хэвээр нь хадгалах нөхцөлд тэр нүүлгэсэн зайг илэрхийлсэн хэмжүүр болно.  Өөрөөр хэлвэл тухайн биетийн массын тархалтыг огтлолын инерцийн радиусаар илэрхийлж болно.

r =  √ (I/ m)

Доорхи зургууд түгээмэл биетүүдийн инерцийн масс моментуудыг харуулж байна.

II Өнцгөн момент

Өнцгөн момент (angular momentum) буюу эргэлтийн момент (L) нь биетийн шугаман момент ба тэнхлэгээс авсан зайны вектор үржвэртэй (×) тэнцнэ.

L = r × mv

Өнцгөн момент нь скаляр хэмжигдэхүүнээр инерцийн масс момент ба эргэлтийн хурд буюу өнцгөн хурдны (angular velocity) үржвэрээр тодорхойлогдно.

L = I ω

Эндээс аливаа биетийн өнцгөн моментийг өөрчлөгдөхөд шаардлагатай мушгих хүчийг бодвол

М = dL / dt = d(I ω) / dt

болно.

Эргэлтийн буюу өнцгөн хурдатгал нь өнцгөн хурдны уламжлалтай тэнцнэ.  Тиймээс

α = М / I

ω = ∫ α dt = ω₀ + (M/I) t = ω₀ + αt

бөгөөд байрлалын өнцөг нь

θ = ∫ α dt² = θ₀ + ω₀t + (M/2I)t²

= θ₀ + ω₀t + (α/2)t²

III Эргэлтийн агшины төв цэг

Аливаа биет нь эргэлдэх хөдөлгөөнд орохдоо ямар нэгэн цэг буюу тэнхлэг дээр агшин зуурын эргэлт хийнэ.  Тэр тэнхлэг цэгийг эргэлтийн агшины төв цэг гэж нэрлэнэ.  Доорхи жишээ нь биетийн уналтын явцад агшин зуур үүсэх эргэлтийн төв цэгийг харуулж P гэж тэмдэглэсэн байна.

Доорхи жишээ нь дугуйны эргэлтийн агшин зуурын тэнхлэг нь Р цэгээр тэмдэглэгдсэнг харуулж байна.

Биет дээрхи аливаа цэгийн шугаман хурдыг эргэлтийн хурд (өнцгөн хурд) ба эргэлтийн агшны төв цэгээс тухайн цэг хүртэлх зайны үржвэрээр олно.

v = r ω

IV Төвөөс зугтах хүч ба төвд тэмүүлэх хүч

Биет нь тойрог замаар хурдатгалтай явах нөхцөлд тухайн биет нь Ньютоны хоёрдугаар хуульд зааснаар хүчний үйлчлэл доор байна гэж үзнэ.  Тойрог замаар явах биет дээр тангенсийн болон перпендикуляр чиглэлд хурдатгал байх бөгөөд тус бүр чиглэлд хүч үйлчлэнэ.

Биетийн тойрог замын төврүү чиглэн үйлчлэх хүчийг төвд тэмүүлэх хүч (centripetal force) , биетийн төвөөс зугтах инерциэс үүсэх хүчийг төвөөс зугтах хүч гэж тодорхойлно  (centrifugal force).  Төвөөс зугтах хүчийг тодорхойлвол

F_c = ma_n = mv²_t/r = mr ω²

болно.  a_n нь төвд тэмүүлэх хурдатгал, v_t нь тангенсийн чиглэлдэх хурд болно.

V Замын налуугын өнцөг

http://www.ux1.eiu.edu/~cfadd/1350/06CirMtn/Images/BankedCurve.jpg

Автомашин тойрог замаар хурдтай эргэхэд үүсэх төвөөс зугтах хүчийг тогтоон барих шаардлагатай замын налуугын өнцгийг тодорхойлвол:.

tan θ = v²_t/gr

болно. r нь тойргын радиус, g нь дэлхийн татах хүчний хурдатгал, v_t нь тангенсийн чиглэл дэх шугаман хурд болно.

VI Мушгирах дүүжин

Мушгирах дүүжин нь холбогч буюу пүрш болон дүүжлэгдсэн жингээс бүрднэ.

Мушгирах холбогчын тогтмол нь

k = ω²I

байх бөгөөд энэ системийг өнцгөн (эргэлтийн) хурд болон хурдатгалаар тодорхойлвол

θ” + (k/I) θ = θ” + ω²_n θ = 0

Дифференциал тэгшитгэлээр энэ системийг тодорхойлвол

θ(t) = θ₀ cos ω t + (ω ₀ / ω)  sin ω t

болно.  Энэ тэгшитгэл нь чөлөөт хэлбэлзлийг илэрхийлсэн дүүжингийн тэгшитгэлтэй ижил төстэй байгааг анхаарна уу.

2. Динамик: Кинетик

Кинетик нь хөдөлгөөн ба хөдөлгөөнийг үүсгэх хүчний судалгаа болно.  Масс, хүч, мушгих хүч, инерцийн момент зэрэг нь шугаман хөдөлгөөн болон эргэлтийн хөдөлгөөнтэй ямар харьцаатай байгааг кинетик судалгаа нь харуулна.  Ньютоны хуулиуд нь кинетикийн гол цөм нь юм.

I Шугаман момент (linear momentum)

Шугаман момент нь хурд ба массны үржвэр вектор хэмжигдэхүүн болно.

p = mv

гадны хүчний нөлөө байхгүй тохиолдолд момент нь хадгалагдна (момент хадгалагдах хууль)

m₁v₁ = m₂v₂

II Ньютоны хөдөлгөөний нэг ба хоёрдугаар хуулиуд, биетийн жин

Ньютоны нэгдүгээр хууль тодорхойлсноор биет дээрхи гадны тэнцвэргүй хүчүүд үйлчлээгүй тохиолдолд биет нь тогтмол хөдөлгөөнгүй байдалд орших буюу тогтмол хурдтай байна.
Энэ хуулийг моментийн хадгалалтаар бас тайлбарлавал гадны хүч биет дээр ажиллаагүй тохиолдолд биетийн момент хадгалагдна.

Ньютоны хоёрдугаар хуульд тодорхойлсноор биетийн хурдатгал нь биет дээр үйлчлэх хүчтэй шууд пропорционал хамааралтай бөгөөд мөн биетийн масстай урвуу пропорционал хамааралтай байна.  Хүчний үйлчлэх чигт биетийн хурдатгал заана.

F = ma

Ньютоны хоёрдугаар хуулийг моментийн хувьд тайлбарлавал биетийн моментийг өөрчлөхийн тулд хүч шаардагдна гэж тайлбарлана.  Тухайн хүч нь моментийн өөрчлөлтийн хэмжээстэй тэнцүү байна.

F = dp/dt

Тиймээс масс нь тогтмол байх нөхцөлд

F = dp/dt = d (mv) /dt

= (m) dv/dt

= ma

Биеийн жин нь тухайн биеийн дэлхийн татах хүчнээс хамааран үйлчлэх хүчийг тодорхойлно.

W = m g

g нь дэлхийн татах хүчний хурдатгалын тогтмол болно.

III Биетийн кинетик

Биет дээр хүч үйлчлэн хөдөлгөөнд орсон тохиолдлыг харуулах бодлогуудыг Ньютоны хоёрдугаар хуулийн тэгшитгэлээр (F = ma) амархан бодно. Гэхдээ Ньютоны хоёрдугаар хуулийг хэрэглэхийн тулд юун түрүүнд координат систем үүсгэн зурж тодорхойлох шаардлагатай.  Гурван янзын координат систем өргөн ашиглагддаг нь 1) тэгш өнцөгт координат систем буюу декартын координат систем (х, у). 2) поляр координат систем (тангентийн ба перпендикуляр тэнхлэгүүд). 3) радиус ба  өнцгөн тэнхлэгүүдээс бүрдэх систем зэрэг болно.

1) Тэгш өнцөгт координат

Тэгш өнцөгт координат (х,у) дээр Ньютоны хоёрдугаар хуулийг илэрхийлэн тэнцэтгэл бичвэл

F_х = ma_х

байна.

Хэрэв хүчийг цагийн функц гэж илэрхийлвэл хурдыг ба хөдөлгөөнийг ингэж тодорхойлж болно:

v_x(t) = v_x0 + ∫(F_x(t)/m) dt = v_x0 + ∫a_x(t)dt

x(t) = x₀ + ∫v_x(t)dt

Хэрвээ хүч нь тогтмол тохиолдолд дээрхи тэгшитгэл нь

v_x(t) = v_x0 + (F_x/m)(t₁ – t₀) = v_x0 + a_x0(t₁ – t₀)

x(t) = x₀ + v_x0(t₁ – t₀) + (F_x/2m)(t₁ – t₀)²

= x₀ + v_x0(t₁ – t₀) + (a_x/2)(t₁ – t₀)²

Дээрхи тэгшитгэлүүд у-тэнхлэг дээр бас адилхан бичигднэ.

2) Поляр координат (перпендикуляр ба тангенс)

Дугуй тойрог замаар явах биет дээрхи хүчнүүдийн тэнцэтгэл нь перпендикуляр буюу нормал тэнхлэг болон тангенсийн тэнхлэг хоёр дээр бичигднэ (n, t)

Σ F_n = ma_n = m (v²_t/r)

r нь тойрог замын радиус болно.

Σ F_t = ma_t = m (dv_t/dt)

3) Поляр координат (радиусын ба өнцгийн)

Поляр координатыг бас нэгэн аргаар илэрхийлэх нь радиусын ба өнцгийн гэсэн хоёр тэнхлэгээр илэрхийлэл болно (radial, transverse).  Энэ тохиолдолд байрлалыг төвөөс хэмжигдэх зай (радиус) болон тойргын төв ба байрлалын өнцгөөс

Σ F_r = ma_r

Σ F_θ= ma_θ

IV Чөлөөт хэлбэлзэл (free oscillation)

Тэнцвэрийн цэгтэй харьцангуй савлан хэлбэлзэх хөдөлгөөнийг хэлбэлзлийн хөдөлгөөн гэнэ.  Хэрэв тэрхүү хөдөлгөөн дээр хүч ачааллахгүйгээр өөрөө хэлбэлзэж байвал тэр нь чөлөөт хэлбэлзэл, дахин дахин хүч ачааллаж байвал тэрхүү хэлбэлзэл нь албадмал хэлбэлзэл (forced oscillation) болно.

Чөлөөт хэлбэлзлийн хөдөлгөөний нэгэн жишээ нь пүршинд дүүжилсэн масс болно.

Пүршинд дүүжилсэн масс нь жингийн таталтаар хөдөлгөөнд орж δ хэмжээний цар хүрээтэй хөдлөж эхлэнэ.  Хөдөлгөөн нь пүршний таталтаар нөгөө тийшээ татагдан хэлбэлзэлд орно.  Пүршний таталгын хүчийг k(x) гэж тэмдэглэж болно.

Энэ системийг тэгшитгэлээр илэрхийлвэл

mg = k δ _st

болох бөгөөд хөдөлгөөний тэгшитгэлийг Ньютоны хоёрдугаар хуулиар илэрхийлвэл

F = ma

mg – k (x + δ) = m x”

mx” + kx = 0

болно.  Байрлалын тэгшитгэлийг дифференциал тэгшитгэлээр илэрхийлвэл

x(t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt

болж гарна.  C1 ба C2 нь интегралаас гарах тогтмол тоонууд болно.   нь хэлбэлзлийн өнцгөн давтамж (angular frequency) бөгөөд радиан/секунд гэсэн хэмжүүртэй байна (энгийн давтамжаас (Hz) өөр хэмжүүртэй байгааг анхаарна уу).

ω = √k /√m

Эхний үүсэх цар хүрээг x₀, анхдагч хурдыг v₀ гэж тэмдэглэвэл

x(t) = x₀ cos ωt + (v₀ / ω)  sin ωt

болно.

1. Динамик: Кинематик

I. Тодорхойлолтууд

Динамик гэж юу вэ?

Динамик нь биет болон биетүүдийн хөдөлгөөний судлал шинжлэл юм.  Динамик нь дотроо ерөнхийдөө кинематик болон кинетик гэж хоёр хуваагдна.  Кинематик нь биетийн хөдөлгөөнийг ганцаарчлан судлах судалгаа ухааныг хэлэх бөгөөд кинетик нь биетийн хөдөлгөөн дээр ажиллаж байгаа хүчнүүд зэргийг оролцуулан биетийн хөдөлгөөний шалтгааныг судлах ухаан болно.

Кинематик нь биет дээр ажиллаж байгаа хүчнүүдийг анзааралгүйгээр зөвхөн биетийн хөдлөл, байрлал, хурд, хурдатгал, хугацааны өөрчлөлт зэргийн судлал болно.

Динамикийн анализ, судалгаа, бодлогууд дээрхи биетүүд нь нугардаггүй бөгөөд хатуу гэж үзнэ (rigid).  Мөн биетүүдийн эргэлтийн хэм хэмжээ нь бага бол тухайн биетийг эгэл бөөм гэж авч үзнэ.  Үүнчлэн олон биетүүдийн нийлбэрийг нэгэн эгэл бөөм гэж авч үзэн анализ хийж болно.

Биет буюу эгэл бөөмийн байрлалын вектор нь

r

гэж үзвэл тухайн биетийн хурд нь

v = dr/dt

мөн хурдатгал нь

a = dv/dt = d²r/dt²

гэж тодорхойлогдно.

II. Шугаман хөдөлгөөн

Шугаман хөдөлгөөнд биет нь зөвхөн шулуун замаар хөдөлнө.  Шугаман хөдөлгөөнд биетийн байрлал нь

s(t) = ∫ v(t)dt = ∫∫ a(t)dt²

хурд нь

v(t) = ds(t)/dt = ∫ a(t)dt

хурдатгал нь

a(t) = dv(t)/dt = d²s(t)/dt²

гэсэн харьцаатай тодорхойлогдно.

Гурван хэмжээст тэгш өнцөгт координат системд (декартын, cartesian) биетийн байрлалыг гурван янзаар тодорхойлж болно.  Тэдгээр нь

1) вектороор, (r)

2) координат цэгүүдээр, (x, y, z)

3) нэгж вектороор (unit vector),  (r = xi + yj + zk)

юм.

Хурд нь тэгш өнцөгт координат системд

 

v = dr/dt = x’i + y’j + z’k

хурдатгал нь

а = dv/dt = d²r/dt² = x”i + y”j + z”k

болно.

Тогтмол хурдатгалын нөхцөл

Биетийн хурдатгал нь тогтмол байгаа нөхцөлд тэр тогтмол хурдатгал нь a₀ гэе.  Мөн энэ нөхцөлд эхлэлийн цагийг t₀, эхлэлийн хурд нь v₀, эхлэлийн байрлал нь s₀ гэж тодорхойлвол

a(t) = a₀

бөгөөд хурд, байрлал нь

v(t) = ∫ a(t)dt = a₀ (t – t₀) + v₀

s(t) = ∫∫ a(t)dt²=  a₀∫∫ dt² = s₀ + v₀(t – t₀) + a₀(t – t₀)² / 2

болно.  Хурдны өргөн хэрэглэгдэх бас нэгэн тэгшитгэл нь

v²(t) = v₀² + 2a₀(s – s₀)

болно.

III Муруй шугаман хөдөлгөөн

Муруй шугаман хөдөлгөөн (curvilinear motion) нь шулуун бус замаар хөдлөх биетийн хөдөлгөөнийг илэрхийлнэ. Муруй шугаман хөдөлгөөнд тойрог хөдөлгөөн, харвагдсан биетийн хөдөлгөөн зэрэг багтна.  Эдгээр хөдөлгөөнүүдийг тэгш өнцөгт буюу декартын координатаар илэрхийлж болох бөгөөд бас поляр координат ашиглан байрлалыг нь тодорхойлж болно.

Радиусын ба өнцгийн векторуудаар илэрхийлэх

Поляр координатаар биетийн байрлалыг радиус болон өнцөгөөр нь илэрхийлдэг.  Поляр координатаар илэрхийлсэн байрлалын r гэсэн хэмжээтэй векторыг e_r гэж тэмдэглэе.

r = r e_r

Энэхүү биетийн хурдыг илэрхийлэхийн тулд хурдны векторыг хоёр хэсэгт хувааж радиусын болон өнцгийн гэсэн бүрдүүлэгч вектор хэсгүүд (component vectors) болгож илэрхийлнэ.

v = v_re_r + v_θe_θ

=r’e_r + r θ’e_θ

Хурдатгалыг мөн тийнхүү илэрхийлнэ.

a = a_re_r + a_θe_θ

=(r” – r θ’²) e_r + (r θ’’ + 2r’ θ’) e_θ

Тангенсийн ба нормал векторуудаар илэрхийлэх

Муруй шугаман хөдөлгөөнөөр явж байгаа биет нь тодорхойлсон агшинд (цаг, instantaneous) шугаман хурд ба шугаман хурдатгалтай байна.    Энэхүү шугаман хурд болон шугаман хурдатгал нь биетийн явах замтай тангенсээр шүргэсэн чиглэлтэй байдаг.  Эдгээрийг тангенсийн хурд ба тангенсийн хурдатгал гэж тодорхойлно (v_t, a_t).

Муруй шугамаар явах биет нь тодорхойлсон агшинд дугуй тойргоор явж байгаа шинж чанарыг харуулна.  Муруй буюу тойргын хөдөлгөөнөөр явж байгаа биетийг муруй зам дээр нь барих хүч нь үүсч байгаа тойргын төврүү нь чиглэсэн байдаг.  Тэр чиглэлд байгаа хурдатгал нь тангенсийн хурд болон хурдатгалтай перпендикуляр байх бөгөөд энэхүү хурдатгалыг нормал хурдатгал гэж нэрлэнэ (a_n).

Тойргийн хөдөлгөөн (2 хэмжээс дээр)

Тойргийн хөдөлгөөн нь биет тогтсон дугуй замаар тойргоор эргэлдэх хөдөлгөөнийг хэлнэ.  Тойргоор эргэх биет нь биетийн өнцгөн байрлал (angular position), өнцгөн хурд  (angular velocity), өнцгөн хурдатгал (angular acceleration) зэргээр тодорхойлогддог.

өнцгөн байрлал = θ

өнцгөн хурд = ω = dθ/dt

өнцгөн хурдатгал = α = dω/dt = d²θ /dt²

гэж тодорхойлогдно.

Шулуун ба тойрог хөдөлгөөнүүдийн харьцуулалт тэгшитгэлүүд

s = r θ

v_t = r ω

a_t = r α = dv_t/dt

a_n = v²_t / r = r ω

IV Харвагдсан буюу шидэгдсэн хөдөлгөөн (projectile motion)

Биет дээр хүч үйлчлэн тухайн бие нь хөдөлгөөнд орж харвагдсан нөхцлийг харвагдсан хөдөлгөөн гэнэ.  Харвагдсан биет нь анхдагч хурд аваад нисэхэд тэрхүү биет дээр зөвхөн дэлхийн татах хүч үйлчилж байгаа гэж тооцно.  (тухайн биетийн жин) Агаарын чирэлтийн хүч ач холбогдолгүй гэж үзнэ.

• Харвагдсан биет дээр эдгээр зарчмууд ажиллана:
• Биетийн явах зам нь парабол хэлбэртэй байна.
• Биетийн газардах агшны хурд нь харвагдах агшны хурдтай тэнцнэ (v₀)
• Замын өнцөг нь (θ) 45 хэм байх үед биетийн өндөрлөг дээд цэгтээ хүрнэ.
• Өндөрлөгийн дээд цэг хүртэлх явах хугацаа нь өндөрлөгөөс цааш явж газардах хугацаатай ижил байна.

Харвагдсан биетийг эдгээр тэгшитгэлүүд тодорхойлно:

a_x = 0

a_y = – g

v_x = v_x0 = v₀cos θ

v_y = v_y0  – gt = v₀sin θ – gt

x = v_x0t = v₀ t cos θ + x₀

y = v_y0t – (1/2) g t² = v₀ t sin θ – (1/2)g t² + y₀

5. Төв цэг, центройд, инерцийн момент

Төв цэг

Биетийн төв цэг буюу центройд (centroid) нь биетийн талбайн төв, хүндийн төв, инерцийн төв зэргийг илэрхийлнэ.

Талбайн статик момент

Биетийн төв цэгийг бодож олох арга нь биетийн талбайн моментийг бодох юм.

Аливаа биетийн талбайн статик момент нь (statical moment of area) биетийн талбайн интеграл нийлбэр болон биетийн төв цэгээс моментийн тэнхлэг хүртэлх зайн үржвэртэй тэнцнэ.

Х тэнхлэг дээр авсан талбайн статик момент нь

http://upload.wikimedia.org/math/1/5/8/1588e1b5bbcbf7156a1f2fad7dc04f85.png

Y тэнхлэг дээр авсан талбайн статик момент нь

http://upload.wikimedia.org/math/8/e/6/8e6caf58c0141ed308aa9d44e76e98a0.png

болно.  Доорхи зургыг харна уу.

http://en.wikiversity.org/wiki/Strength_of_materials/Appendix_A

Шулууны төв цэг

Шулууны төв цэгийг моментийн тэгшитгэлээс гарган бодвол

x_c = Σ x_n L_n / L

y_c = Σ y_n L_n / L

болно.

Талбайн төв цэг

Аливаа биетийн талбайн төв цэгийг мөн моментийн тэгшитгэлээс гарган бодно.

x_c = Σ x_c,n A_n / A = M_y / A

y_c = Σ y_c,n A_n / A = M_x / A

z_c = Σ z_c,n A_n / A = M_z / A

Эзэлхүүний төв цэг

Эзэлхүүний төв цэг нь мөн дээрхи аргаар бодогдно.

x_c = Σ x_n V_n / V

y_c = Σ y_n V_n / V

z_c = Σ z_nV_n / V

Нийтлэг хэлбэр дүрснүүдийн төв цэгүүдийг болон талбайг доорхи зурагнаас харна уу.

http://www.engineering.com/Library/ArticlesPage/tabid/85/articleType/ArticleView/articleId/109/Centroids-of-Common-Shapes.aspx

Талбайн инерцийн момент

Инерцийн момент нь биетийн нугаралтыг эсэргүүцэх шинж чанар гэж тодорхойлж болно.

Статик анализийн хувьд инерцийн момент нь ихэнх тохиолдолд хөндлөвчийн (beam) хөндлөн огтлол талбай (cross section area) дээр тодорхойлогдно.  Талбайн инерцийн момент нь тухайн талбайн нугаралт эсэргүүцэх шинж чанар болно.  Бага инерцийн моменттэй талбай (хөндлөвчийн огтлол талбай) нь нугаралтанд амархан автах бол их инерцийн моменттэй талбай нугаралтыг илүүтэй эсэргүүцнэ.

Талбайн инерцийн момент нь ямар нэгэн тэнхлэгээр тодорхойлогдно.  (I_x нь х-тэнхлэгийн инерцийн момент, I_y нь y тэнхлэгийн инерцийн момент гэх мэт.)

Талбайн төв цэг буюу центройдоор дайруулан авсан инерцийн момент нь центройдын инерцийн момент гэж нэрлэгдэх бөгөөд I_xc, I_yc гэж бичигднэ.

Талбайн  инерцийн момент нь тэнхлэг хүртэлх зайны квадрат болон хөндлөн огтлолын талбайн үржвэрийн интегралаар тодорхойлогдно.

I_x = ∫ y² dA

I_y = ∫ x² dA

 Поляр инерцийн момент

Поляр инерцийн момент нь (polar moment of inertia), J, хөндлөн огтлол талбайн мушгиралтыг (torsion) эсэргүүцэх шинж чанарыг тодорхойлно.  Талбайн поляр инерцийн момент нь гурван хэмжээс дээр тодорхойлогдох бөгөөд гурав дахь хэмжээс z тэнхлэг нь талбайтай перпендикуляр байна.

Поляр инерцийн момент нь z тэнхлэг дээр авсан талбайн инерцийн моменттэй тэнцнэ.

J = I_z = ∫ (x² + y²) dA

z тэнхлэг дээр авсан талбайн инерцийн момент нь х болон у тэнхлэг дээрхи талбайн инерцийн моментийн нийлбэртэй тэнцнэ гэж үзнэ (перпендикуляр тэнхлэгийн теорем). Тиймээс

J = I_x + I_y

Параллель тэнхлэгийн теорем

Хэрэв аливаа нэг тэнхлэг дээрхи талбайн инерцийн момент нь мэдэгдэж байгаа нөхцөлд тухайн тэнхлэгтэй параллель, өөр тэнхлэг дээр тэрхүү талбайн инерцийн моментийг бас бодож болно.

I_{параллель}  = I_с + А r²

• I_с нь биетийн талбайн төвөөр дайруулан авсан тэнхлэг дээрхи инерцийн момент
• r  нь төвийг дайруулсан тэнхлэг болон шинэ тэнхлэгийн хоорондох зай

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/43/Parallelaxes-1.png

 Огтлолын инерцийн радиус / эргэлтийн радиус

Огтлолын инерцийн радиус нь (radius of gyration) хөндлөн огтлол талбайн тархалтыг илэрхийлэх хэмжүүр юм.  (Талбайн инерцийн моментийг өөрчлөлгүйгээр талбайг `нүүлгэвэл` талбайн төвийг дайрсан тэнхлэгээс хэр хол зайтай байхыг инерцийн радиус төсөөллөөр харуулах юм. )

Огтлолын инерцийн радиус нь их байх тусам Талбайн төв цэгийг дайрсан тэнхлэгээс биет нь хол тархсан байна гэж тооцогдно.  Инерцийн радиус нь х, у тэнхлэгүүд дээр доорхи томъёогоор тодорхойлогдно.

r_x =  √ (I_x / А)

r_y =  √ (I_y / А)

Поляр систем дээр инерцийн радиус нь

r_p = r_z = √ J / A

болно.

4. Дамар, Үрэлтийн хүч, Шураг

Дамар

Дамар буюу хүрд ( pulley / sheave ) нь таталтын хүчний зүг чигийг өөрчлөх зорилготойгоор өргөн хэрэглэгддэг.  Олон дамарнуудаас бүрдсэн өргөх систем нь мөн `механик давуу тал` (mechanical advantage) олж авах зорилготойгоор хэрэглэгднэ.   `Дамарны механик давуу тал` нь дамарны нэг талд дүүжлэгдсэн жинг нөгөө талаас нь бага татах хүчээр татах үр ашигтай давуу талыг хэлнэ.  Дамарны тоо олон байх тусам татах хүч багасна.

Мөн утас нь дамарыг олон дахин ороосон байх тусам татах хүч багасч үр ашгийн давуу тал өгнө.

Татлагын утас нь (cable) аливаа биетийг татах үйлдэл хийхэд хэрэглэгдэх бөгөөд диаграм дээр биетийн эсрэг зүгрүү чиглэсэн сумаар тэмдэглэгднэ.

http://www.webassign.net/serpse/5-ae-4-alt.gif

Үрэлтийн хүч, Нормал хүч, Үрэлтийн коэффициент

Үрэлтийн хүч ( friction ) нь хөдөлгөөнийг эсэргүүцнэ.  Үрэлтийн хүч нь биеттэй шүргэлцэж байгаа гадаргуутай паралльел чиглэлтэй биетийн хөдөлгөөнийг эсэргүүцсэн зүгт үйлчлэх юм.

Доорхи зурган дээрхи гулсах гэж байгаа биет дээр F_n нь гадаргууны дээш түлхэх хүч, W нь биетийн жин, F_r нь үрэлтийн хүч болно.

Гадаргууны биетийг дээш түлхэх хүч нь бас нормал хүч (Normal Force, N ) гэж нэрлэгддэг.  Нормал хүч (N) нь биетийг тогтоох хүч бөгөөд нормал хүч байхгүй бол биет нь гадаргуун дээр тогтохгүй гэсэн үг.  0 хэмтэй хавтгай гадаргуун дээрхи нормал хүч нь эгц 90 хэмээр дээш үйлчлэх бол налуу гадарга дээрхи нормал хүч нь  гадаргатай 90 хэмээр, перпендикуляр үйлчлэнэ.

Налуу гадаргууны өнцөгөөс шалтгаалж нормал хүч бодогдно.  Налуу гадаргын өнцөг нь θ бөгөөд жин нь W бол нормал хүч нь

N = W cos θ

байна.

Статик буюу хөдөлгөөнгүй нөхцөлд биет оршин байхын тулд үрэлтийн хүч нь нормал хүч ба үрэлтийн коэффициентийн үржвэрээс бага байх ёстой.

F < μ N

Үрэлтийн коэффициент нь статик үрэлтийн коэффициент, кинетик үрэлтийн коэффициент гэж 2 янз байна. (static/kinetic coefficient of friction)

Үрэлтийн хүч (F) нь нормал хүч ба статик үрэлтийн коэффициенттэй тэнцүү байвал биет нь хөдөлгөөнд орох шахаж гулсахад бэлэн байна гэсэн үг.

F = μ_sN                       [гулсах ирмэг дээр]

Үрэлтийн хүч нь нормал хүч ба кинетик үрэлтийн коэффициентээс бага болсон тохиолдолд биет нь хөдөлгөөнд орж гулсаж байна гэсэн үг.

F  = μ_k N                     [гулсалт]

Дамар ба үрэлтийн хүч

Дамарыг ороосон татлагын утас, бүс зэрэг нь өргөлтийн систем, конвейер дамжуурга зэрэг систем үүсгэнэ.

Дээрхи зурган дээрхи дамарыг ороосон бүсний таталтын хүчнүүд  (tension) нь энэ тэгшитгэлээр өгөгднө.

T₁ = T₂e ^{μ θ}

Бүсний хөдөлгөөн нь T₁ хүчний чиглэлрүү хөдөлж байгаа буюу {T₁ >T₂ } болно.  θ нь бүс дамарыг ороон барьсан хэсгийн өнцөг (радианаар хэмжигдсэн ), μ нь үрэлтийн коэффициент болно.

Энэ дамар ба бүсний системийн нийт мушгих хүч нь

τ = (T₁ – T₂) r

байх бөгөөд системийн нийт чадал нь

P = (T₁ – T₂ ) V

байна. V нь бүсний шулуун замын хурд болно.

Шураг

Механик шураг нь (screw) өнцгөн хөдөлгөөнийг шулуун хөдөлгөөнрүү шилжүүлэн өөрчлөгч багаж болно.

Шурагны өндөрлөгний хоорондох зай нь (pitch) p гэж тэмдэглэгднэ.  Өндөрлөгний хазайлтын өнцөг нь α гэж тэмдэглэгднэ.  Шурагны урагшлалт нь (lead) нэг эргэлтэнд (360 хэм) шураг нь урагшаагаа ямар хэмжээтэй ахиж урагшилж байгааг хэмжсэн хэмжүүр болно.

Үрэлтийн өнцөг

Шурагны судалны үрэлтийн  коэффициентийг өнцгөөр тодорхойлж болох ба тэр нь судалны үрэлтийн өнцөг (θ) гэж нэрлэгднэ.

μ = tan θ

 Шургыг эргүүлэхэд шаардагдах мушгих хүч нь доорхи тэгшитгэлээр тодорхойлогдно.

М = P r tan (α + θ)

• P нь шурагны урагшлалт эсэргүүцэх шулуун хүч
• r нь шурагны радиус
• α нь хазайлтын өнцөг
• θ нь үрэлтийн өнцөг

болно.

Хэрэв шургыг хүчний чиглэлтэй нэг зүгт урагшлуулж байгаа нөхцөлд энэ томъёо нь

М = P r tan (α – θ)

болно.

 

Шурагны үр ашгийн коэффициент

Шурагны үр ашгийн хэмжүүр нь үрэлт байхгүй нөхцөлд шургыг урагшлуулах мушгих хүчийг бодит мушгих хүчтэй харьцуулсан коэффициент юм.

η = М _{θ =0} / М

3. Truss / Гурвалжин бэхэлгээ

Гурвалжин бэхэлгээ ( truss ) нь нугасаар хоорондоо холбогдсон шулуун эд ангиудаас бүтсэн бөгөөд гурвалжингууд хоорондоо үүсгэсэн бүтэц юм .

Гурвалжин бэхэлгээ нь барилга болон бүтцийн инжинерчлэлийн өргөн хэрэглэгдэх бөгөөд голлох бүтцүүдийн нэг.

Жишээ: Эйффэлийн цамхагийн хэсэг

Жишээ: Lillebæltsbroen гүүр , Дани улс

Гурвалжин бэхэлгээ нь барилгын дээвэр, гүүр гэх мэт олон зүйлд хэрэглэгднэ.

Гурвалжин бэхэлгээний холбоосууд нь нугасан холбоос учраас реакц момент байхгүй бөгөөд тийм учраас анализ хийхэд харьцангуй хялбар байдаг.

Гурвалжин бэхэлгээний эд ангиуд нь даац ямар нөхцлөөр авч байгаагаас шалтгаалж таталт, шахалт зэрэг хүчнүүдийн нөлөөн доор байна.  Гурвалжин бэхэлгээ нь нум хэлбэр үүсгэсэн байх тохиолдолд тухайн бэхэлгээний дээд болон доо талын хөндлөн хэсгийг хөвч гэж нэрлэнэ.  Хэрэв нуман хэлбэртэй гурвалжин бэхэлгээ нь дээрээ даац авч байвал гурвалжин бэхэлгээний доод талын хөвч нь таталтын хүчинд автаж дээд талын хөвч нь шахалтын хүчинд автна.

Гурвалжин бэхэлгээ нь статикаар тодорхойлогдох эсэх

Гурвалжин бэхэлгээний бүх холбоос нь нугасаар холбогдсон байвал бэхэлгээн дээрхи бүх хүчнүүдийг статикаар анализ хийж олж болно.  Харин хавцал холбосон гүүр гэх мэт гурвалжин бэхэлгээ нь байдал нөхцлөөс шалтгаалж нэмэлт бэхэлгээнүүд газартай хийгдсэн байх бөгөөд тийм нөхцөлд дан ганц статикийг ашиглаж хүчнүүдийг олох боломжгүй бөгөөд тийм бэхэлгээ нь статикаар тодорхойлогдохгүй болно ( statically indeterminate ).

Гурвалжин бэхэлгээ нь статикаар тодорхойлогдох эсэхийг доорхи томъёог ашиглан хялбар мэдэж болно.

Эд ангиудын буюу мөчнүүдийн тоо  = 2 х (холбоосуудын тоо) – 3

Энэ томъёогоор бэхэлгээний эд ангиудын (мөчнүүд) тоо нь статикийн хувьд илүүдэл эсэхийг бодно.  Хэрэв томъёогоор бодогдсон мөчнүүдийн тоо нь бэхэлгээнд байгаа мөчнүүдийн тооноос илүү гарч байвал бэхэлгээ нь статикийн хувьд тодорхойлогдохгүй гэж үзнэ.

Харин томъёогоор бодогдсон мөчнүүдийн тоо нь бэхэлгээнд байгаа мөчнүүдийн  тооноос дутуу байвал бэхэлгээ нь тогтворгүй бөгөөд нурж унахад бэлэн гэж үзнэ.

Жишээ нь гурвалжин бэхлээсэн гүүр нь 17 ширхэг мөчтэй байхаар томъёогоор бодогдох боловч үнэндээ 16 мөчтэй байвал тэр гүүр нь тогтворгүй байна гэж үзнэ.

Гурвалжин бэхлээсүүд дээр анализ хийхийн тулд холбоосууд дээр эсвэл гурвалжин бэхэлгээний нэг хэсэг дээр биетийн чөлөөлсөн диаграм зурж бодлого анализ хийнэ.