Home > Статик > 5. Төв цэг, центройд, инерцийн момент

5. Төв цэг, центройд, инерцийн момент

Төв цэг

Биетийн төв цэг буюу центройд (centroid) нь биетийн талбайн төв, хүндийн төв, инерцийн төв зэргийг илэрхийлнэ.

Талбайн статик момент

Биетийн төв цэгийг бодож олох арга нь биетийн талбайн моментийг бодох юм.

Аливаа биетийн талбайн статик момент нь (statical moment of area) биетийн талбайн интеграл нийлбэр болон биетийн төв цэгээс моментийн тэнхлэг хүртэлх зайн үржвэртэй тэнцнэ.

Х тэнхлэг дээр авсан талбайн статик момент нь

http://upload.wikimedia.org/math/1/5/8/1588e1b5bbcbf7156a1f2fad7dc04f85.png

Y тэнхлэг дээр авсан талбайн статик момент нь

http://upload.wikimedia.org/math/8/e/6/8e6caf58c0141ed308aa9d44e76e98a0.png

болно.  Доорхи зургыг харна уу.

http://en.wikiversity.org/wiki/Strength_of_materials/Appendix_A

Шулууны төв цэг

Шулууны төв цэгийг моментийн тэгшитгэлээс гарган бодвол

xc = Σ xn Ln / L

yc = Σ yn Ln / L

болно.

Талбайн төв цэг

Аливаа биетийн талбайн төв цэгийг мөн моментийн тэгшитгэлээс гарган бодно.

xc = Σ xc,n An / A = My / A

yc = Σ yc,n An / A = Mx / A

zc = Σ zc,n An / A = Mz / A

Эзэлхүүний төв цэг

Эзэлхүүний төв цэг нь мөн дээрхи аргаар бодогдно.

xc = Σ xn Vn / V

yc = Σ yn Vn / V

zc = Σ znVn / V

Нийтлэг хэлбэр дүрснүүдийн төв цэгүүдийг болон талбайг доорхи зурагнаас харна уу.

http://www.engineering.com/Library/ArticlesPage/tabid/85/articleType/ArticleView/articleId/109/Centroids-of-Common-Shapes.aspx

Талбайн инерцийн момент

Инерцийн момент нь биетийн нугаралтыг эсэргүүцэх шинж чанар гэж тодорхойлж болно.

Статик анализийн хувьд инерцийн момент нь ихэнх тохиолдолд хөндлөвчийн (beam) хөндлөн огтлол талбай (cross section area) дээр тодорхойлогдно.  Талбайн инерцийн момент нь тухайн талбайн нугаралт эсэргүүцэх шинж чанар болно.  Бага инерцийн моменттэй талбай (хөндлөвчийн огтлол талбай) нь нугаралтанд амархан автах бол их инерцийн моменттэй талбай нугаралтыг илүүтэй эсэргүүцнэ.

Талбайн инерцийн момент нь ямар нэгэн тэнхлэгээр тодорхойлогдно.  (Ix нь х-тэнхлэгийн инерцийн момент, Iy нь y тэнхлэгийн инерцийн момент гэх мэт.)

Талбайн төв цэг буюу центройдоор дайруулан авсан инерцийн момент нь центройдын инерцийн момент гэж нэрлэгдэх бөгөөд Ixc, Iyc гэж бичигднэ.

Талбайн  инерцийн момент нь тэнхлэг хүртэлх зайны квадрат болон хөндлөн огтлолын талбайн үржвэрийн интегралаар тодорхойлогдно.

Ix = ∫ y2 dA

Iy = ∫ x2 dA

 Поляр инерцийн момент

Поляр инерцийн момент нь (polar moment of inertia), J, хөндлөн огтлол талбайн мушгиралтыг (torsion) эсэргүүцэх шинж чанарыг тодорхойлно.  Талбайн поляр инерцийн момент нь гурван хэмжээс дээр тодорхойлогдох бөгөөд гурав дахь хэмжээс z тэнхлэг нь талбайтай перпендикуляр байна.

Поляр инерцийн момент нь z тэнхлэг дээр авсан талбайн инерцийн моменттэй тэнцнэ.

J = Iz = ∫ (x2 + y2) dA

z тэнхлэг дээр авсан талбайн инерцийн момент нь х болон у тэнхлэг дээрхи талбайн инерцийн моментийн нийлбэртэй тэнцнэ гэж үзнэ (перпендикуляр тэнхлэгийн теорем). Тиймээс

J = Ix + Iy

Параллель тэнхлэгийн теорем

Хэрэв аливаа нэг тэнхлэг дээрхи талбайн инерцийн момент нь мэдэгдэж байгаа нөхцөлд тухайн тэнхлэгтэй параллель, өөр тэнхлэг дээр тэрхүү талбайн инерцийн моментийг бас бодож болно.

Iпараллель  = Iс + А r2

  • Iс нь биетийн талбайн төвөөр дайруулан авсан тэнхлэг дээрхи инерцийн момент
  • r  нь төвийг дайруулсан тэнхлэг болон шинэ тэнхлэгийн хоорондох зай

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/43/Parallelaxes-1.png

 Огтлолын инерцийн радиус / эргэлтийн радиус

Огтлолын инерцийн радиус нь (radius of gyration) хөндлөн огтлол талбайн тархалтыг илэрхийлэх хэмжүүр юм.  (Талбайн инерцийн моментийг өөрчлөлгүйгээр талбайг `нүүлгэвэл` талбайн төвийг дайрсан тэнхлэгээс хэр хол зайтай байхыг инерцийн радиус төсөөллөөр харуулах юм. )

Огтлолын инерцийн радиус нь их байх тусам Талбайн төв цэгийг дайрсан тэнхлэгээс биет нь хол тархсан байна гэж тооцогдно.  Инерцийн радиус нь х, у тэнхлэгүүд дээр доорхи томъёогоор тодорхойлогдно.

rx =  √ (Ix / А)

ry =  √ (Iy / А)

Поляр систем дээр инерцийн радиус нь

rp = rz = √ J / A

болно.

Categories: Статик
  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: