Home > Динамик > 1. Динамик: Кинематик

1. Динамик: Кинематик

I. Тодорхойлолтууд

Динамик гэж юу вэ?

Динамик нь биет болон биетүүдийн хөдөлгөөний судлал шинжлэл юм.  Динамик нь дотроо ерөнхийдөө кинематик болон кинетик гэж хоёр хуваагдна.  Кинематик нь биетийн хөдөлгөөнийг ганцаарчлан судлах судалгаа ухааныг хэлэх бөгөөд кинетик нь биетийн хөдөлгөөн дээр ажиллаж байгаа хүчнүүд зэргийг оролцуулан биетийн хөдөлгөөний шалтгааныг судлах ухаан болно.

Кинематик нь биет дээр ажиллаж байгаа хүчнүүдийг анзааралгүйгээр зөвхөн биетийн хөдлөл, байрлал, хурд, хурдатгал, хугацааны өөрчлөлт зэргийн судлал болно.

Динамикийн анализ, судалгаа, бодлогууд дээрхи биетүүд нь нугардаггүй бөгөөд хатуу гэж үзнэ (rigid).  Мөн биетүүдийн эргэлтийн хэм хэмжээ нь бага бол тухайн биетийг эгэл бөөм гэж авч үзнэ.  Үүнчлэн олон биетүүдийн нийлбэрийг нэгэн эгэл бөөм гэж авч үзэн анализ хийж болно.

Биет буюу эгэл бөөмийн байрлалын вектор нь

r

гэж үзвэл тухайн биетийн хурд нь

v = dr/dt

мөн хурдатгал нь

a = dv/dt = d2r/dt2

гэж тодорхойлогдно.

II. Шугаман хөдөлгөөн

Шугаман хөдөлгөөнд биет нь зөвхөн шулуун замаар хөдөлнө.  Шугаман хөдөлгөөнд биетийн байрлал нь

s(t) = ∫ v(t)dt = ∫∫ a(t)dt2

хурд нь

v(t) = ds(t)/dt = ∫ a(t)dt

хурдатгал нь

a(t) = dv(t)/dt = d2s(t)/dt2

гэсэн харьцаатай тодорхойлогдно.

Гурван хэмжээст тэгш өнцөгт координат системд (декартын, cartesian) биетийн байрлалыг гурван янзаар тодорхойлж болно.  Тэдгээр нь

1) вектороор, (r)

2) координат цэгүүдээр, (x, y, z)

3) нэгж вектороор (unit vector),  (r = xi + yj + zk)

юм.

Хурд нь тэгш өнцөгт координат системд

 

v = dr/dt = x’i + y’j + z’k

хурдатгал нь

а = dv/dt = d2r/dt2 = x”i + y”j + z”k

болно.

Тогтмол хурдатгалын нөхцөл

Биетийн хурдатгал нь тогтмол байгаа нөхцөлд тэр тогтмол хурдатгал нь a0 гэе.  Мөн энэ нөхцөлд эхлэлийн цагийг t0, эхлэлийн хурд нь v0, эхлэлийн байрлал нь s0 гэж тодорхойлвол

a(t) = a0

бөгөөд хурд, байрлал нь

v(t) = ∫ a(t)dt = a0 (t – t0) + v0

s(t) = ∫∫ a(t)dt2=  a0∫∫ dt2 = s0 + v0(t – t0) + a0(t – t0)2 / 2

болно.  Хурдны өргөн хэрэглэгдэх бас нэгэн тэгшитгэл нь

v2(t) = v02 + 2a0(s – s0)

болно.

III Муруй шугаман хөдөлгөөн

Муруй шугаман хөдөлгөөн (curvilinear motion) нь шулуун бус замаар хөдлөх биетийн хөдөлгөөнийг илэрхийлнэ. Муруй шугаман хөдөлгөөнд тойрог хөдөлгөөн, харвагдсан биетийн хөдөлгөөн зэрэг багтна.  Эдгээр хөдөлгөөнүүдийг тэгш өнцөгт буюу декартын координатаар илэрхийлж болох бөгөөд бас поляр координат ашиглан байрлалыг нь тодорхойлж болно.

Радиусын ба өнцгийн векторуудаар илэрхийлэх

Поляр координатаар биетийн байрлалыг радиус болон өнцөгөөр нь илэрхийлдэг.  Поляр координатаар илэрхийлсэн байрлалын r гэсэн хэмжээтэй векторыг er гэж тэмдэглэе.

r = r er

Энэхүү биетийн хурдыг илэрхийлэхийн тулд хурдны векторыг хоёр хэсэгт хувааж радиусын болон өнцгийн гэсэн бүрдүүлэгч вектор хэсгүүд (component vectors) болгож илэрхийлнэ.

v = vrer + vθeθ

=r’er + r θ’eθ

Хурдатгалыг мөн тийнхүү илэрхийлнэ.

a = arer + aθeθ

=(r” – r θ’2) er + (r θ’’ + 2r’ θ’) eθ

Тангенсийн ба нормал векторуудаар илэрхийлэх

Муруй шугаман хөдөлгөөнөөр явж байгаа биет нь тодорхойлсон агшинд (цаг, instantaneous) шугаман хурд ба шугаман хурдатгалтай байна.    Энэхүү шугаман хурд болон шугаман хурдатгал нь биетийн явах замтай тангенсээр шүргэсэн чиглэлтэй байдаг.  Эдгээрийг тангенсийн хурд ба тангенсийн хурдатгал гэж тодорхойлно (vt, at).

Муруй шугамаар явах биет нь тодорхойлсон агшинд дугуй тойргоор явж байгаа шинж чанарыг харуулна.  Муруй буюу тойргын хөдөлгөөнөөр явж байгаа биетийг муруй зам дээр нь барих хүч нь үүсч байгаа тойргын төврүү нь чиглэсэн байдаг.  Тэр чиглэлд байгаа хурдатгал нь тангенсийн хурд болон хурдатгалтай перпендикуляр байх бөгөөд энэхүү хурдатгалыг нормал хурдатгал гэж нэрлэнэ (an).

Тойргийн хөдөлгөөн (2 хэмжээс дээр)

Тойргийн хөдөлгөөн нь биет тогтсон дугуй замаар тойргоор эргэлдэх хөдөлгөөнийг хэлнэ.  Тойргоор эргэх биет нь биетийн өнцгөн байрлал (angular position), өнцгөн хурд  (angular velocity), өнцгөн хурдатгал (angular acceleration) зэргээр тодорхойлогддог.

өнцгөн байрлал = θ

өнцгөн хурд = ω = dθ/dt

өнцгөн хурдатгал = α = dω/dt = d2θ /dt2

гэж тодорхойлогдно.

Шулуун ба тойрог хөдөлгөөнүүдийн харьцуулалт тэгшитгэлүүд

s = r θ

vt = r ω

at = r α = dvt/dt

an = v2t / r = r ω

IV Харвагдсан буюу шидэгдсэн хөдөлгөөн (projectile motion)

Биет дээр хүч үйлчлэн тухайн бие нь хөдөлгөөнд орж харвагдсан нөхцлийг харвагдсан хөдөлгөөн гэнэ.  Харвагдсан биет нь анхдагч хурд аваад нисэхэд тэрхүү биет дээр зөвхөн дэлхийн татах хүч үйлчилж байгаа гэж тооцно.  (тухайн биетийн жин) Агаарын чирэлтийн хүч ач холбогдолгүй гэж үзнэ.

  • Харвагдсан биет дээр эдгээр зарчмууд ажиллана:
  • Биетийн явах зам нь парабол хэлбэртэй байна.
  • Биетийн газардах агшны хурд нь харвагдах агшны хурдтай тэнцнэ (v0)
  • Замын өнцөг нь (θ) 45 хэм байх үед биетийн өндөрлөг дээд цэгтээ хүрнэ.
  • Өндөрлөгийн дээд цэг хүртэлх явах хугацаа нь өндөрлөгөөс цааш явж газардах хугацаатай ижил байна.

Харвагдсан биетийг эдгээр тэгшитгэлүүд тодорхойлно:

ax = 0

ay = – g

vx = vx0 = v0cos θ

vy = vy0  – gt = v0sin θ – gt

x = vx0t = v0 t cos θ + x0

y = vy0t – (1/2) g t2 = v0 t sin θ – (1/2)g t2 + y0

Categories: Динамик
  1. nanotech.
    September 5, 2011 at 1:06 pm

    Cool! thanks

  2. Anonymous
    February 26, 2012 at 11:18 am

    гоё2

  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: