Home > Динамик > 2. Динамик: Кинетик

2. Динамик: Кинетик

Кинетик нь хөдөлгөөн ба хөдөлгөөнийг үүсгэх хүчний судалгаа болно.  Масс, хүч, мушгих хүч, инерцийн момент зэрэг нь шугаман хөдөлгөөн болон эргэлтийн хөдөлгөөнтэй ямар харьцаатай байгааг кинетик судалгаа нь харуулна.  Ньютоны хуулиуд нь кинетикийн гол цөм нь юм.

I Шугаман момент (linear momentum)

Шугаман момент нь хурд ба массны үржвэр вектор хэмжигдэхүүн болно.

p = mv

гадны хүчний нөлөө байхгүй тохиолдолд момент нь хадгалагдна (момент хадгалагдах хууль)

m1v1 = m2v2

II Ньютоны хөдөлгөөний нэг ба хоёрдугаар хуулиуд, биетийн жин

Ньютоны нэгдүгээр хууль тодорхойлсноор биет дээрхи гадны тэнцвэргүй хүчүүд үйлчлээгүй тохиолдолд биет нь тогтмол хөдөлгөөнгүй байдалд орших буюу тогтмол хурдтай байна.
Энэ хуулийг моментийн хадгалалтаар бас тайлбарлавал гадны хүч биет дээр ажиллаагүй тохиолдолд биетийн момент хадгалагдна.

Ньютоны хоёрдугаар хуульд тодорхойлсноор биетийн хурдатгал нь биет дээр үйлчлэх хүчтэй шууд пропорционал хамааралтай бөгөөд мөн биетийн масстай урвуу пропорционал хамааралтай байна.  Хүчний үйлчлэх чигт биетийн хурдатгал заана.

F = ma

Ньютоны хоёрдугаар хуулийг моментийн хувьд тайлбарлавал биетийн моментийг өөрчлөхийн тулд хүч шаардагдна гэж тайлбарлана.  Тухайн хүч нь моментийн өөрчлөлтийн хэмжээстэй тэнцүү байна.

F = dp/dt

Тиймээс масс нь тогтмол байх нөхцөлд

F = dp/dt = d (mv) /dt

= (m) dv/dt

= ma

Биеийн жин нь тухайн биеийн дэлхийн татах хүчнээс хамааран үйлчлэх хүчийг тодорхойлно.

W = m g

g нь дэлхийн татах хүчний хурдатгалын тогтмол болно.

III Биетийн кинетик

Биет дээр хүч үйлчлэн хөдөлгөөнд орсон тохиолдлыг харуулах бодлогуудыг Ньютоны хоёрдугаар хуулийн тэгшитгэлээр (F = ma) амархан бодно. Гэхдээ Ньютоны хоёрдугаар хуулийг хэрэглэхийн тулд юун түрүүнд координат систем үүсгэн зурж тодорхойлох шаардлагатай.  Гурван янзын координат систем өргөн ашиглагддаг нь 1) тэгш өнцөгт координат систем буюу декартын координат систем (х, у). 2) поляр координат систем (тангентийн ба перпендикуляр тэнхлэгүүд). 3) радиус ба  өнцгөн тэнхлэгүүдээс бүрдэх систем зэрэг болно.

1) Тэгш өнцөгт координат

Тэгш өнцөгт координат (х,у) дээр Ньютоны хоёрдугаар хуулийг илэрхийлэн тэнцэтгэл бичвэл

Fх = maх

байна.

Хэрэв хүчийг цагийн функц гэж илэрхийлвэл хурдыг ба хөдөлгөөнийг ингэж тодорхойлж болно:

vx(t) = vx0 + ∫(Fx(t)/m) dt = vx0 + ∫ax(t)dt

x(t) = x0 + ∫vx(t)dt

Хэрвээ хүч нь тогтмол тохиолдолд дээрхи тэгшитгэл нь

vx(t) = vx0 + (Fx/m)(t1 – t0) = vx0 + ax0(t1 – t0)

x(t) = x0 + vx0(t1 – t0) + (Fx/2m)(t1 – t0)2

= x0 + vx0(t1 – t0) + (ax/2)(t1 – t0)2

Дээрхи тэгшитгэлүүд у-тэнхлэг дээр бас адилхан бичигднэ.

2) Поляр координат (перпендикуляр ба тангенс)

Дугуй тойрог замаар явах биет дээрхи хүчнүүдийн тэнцэтгэл нь перпендикуляр буюу нормал тэнхлэг болон тангенсийн тэнхлэг хоёр дээр бичигднэ (n, t)

Σ Fn = man = m (v2t/r)

r нь тойрог замын радиус болно.

Σ Ft = mat = m (dvt/dt)

3) Поляр координат (радиусын ба өнцгийн)

Поляр координатыг бас нэгэн аргаар илэрхийлэх нь радиусын ба өнцгийн гэсэн хоёр тэнхлэгээр илэрхийлэл болно (radial, transverse).  Энэ тохиолдолд байрлалыг төвөөс хэмжигдэх зай (радиус) болон тойргын төв ба байрлалын өнцгөөс

Σ Fr = mar

Σ Fθ= maθ

IV Чөлөөт хэлбэлзэл (free oscillation)

Тэнцвэрийн цэгтэй харьцангуй савлан хэлбэлзэх хөдөлгөөнийг хэлбэлзлийн хөдөлгөөн гэнэ.  Хэрэв тэрхүү хөдөлгөөн дээр хүч ачааллахгүйгээр өөрөө хэлбэлзэж байвал тэр нь чөлөөт хэлбэлзэл, дахин дахин хүч ачааллаж байвал тэрхүү хэлбэлзэл нь албадмал хэлбэлзэл (forced oscillation) болно.

Чөлөөт хэлбэлзлийн хөдөлгөөний нэгэн жишээ нь пүршинд дүүжилсэн масс болно.

Пүршинд дүүжилсэн масс нь жингийн таталтаар хөдөлгөөнд орж δ хэмжээний цар хүрээтэй хөдлөж эхлэнэ.  Хөдөлгөөн нь пүршний таталтаар нөгөө тийшээ татагдан хэлбэлзэлд орно.  Пүршний таталгын хүчийг k(x) гэж тэмдэглэж болно.

Энэ системийг тэгшитгэлээр илэрхийлвэл

mg = k δ st

болох бөгөөд хөдөлгөөний тэгшитгэлийг Ньютоны хоёрдугаар хуулиар илэрхийлвэл

F = ma

mg – k (x + δ) = m x”

mx” + kx = 0

болно.  Байрлалын тэгшитгэлийг дифференциал тэгшитгэлээр илэрхийлвэл

x(t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt

болж гарна.  C1 ба C2 нь интегралаас гарах тогтмол тоонууд болно.   нь хэлбэлзлийн өнцгөн давтамж (angular frequency) бөгөөд радиан/секунд гэсэн хэмжүүртэй байна (энгийн давтамжаас (Hz) өөр хэмжүүртэй байгааг анхаарна уу).

ω = √k /√m

Эхний үүсэх цар хүрээг x0, анхдагч хурдыг v0 гэж тэмдэглэвэл

x(t) = x0 cos ωt + (v0 / ω)  sin ωt

болно.

Categories: Динамик
  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: