Home > Динамик > 3. Эргэх хөдөлгөөний кинетик

3. Эргэх хөдөлгөөний кинетик

I Инерцийн масс момент

Инерцийн масс момент (I) нь биетийн аливаа тэнхлэгийг тойрох хөдөлгөөнийг эсэргүүцэх чанарыг илэрхийлнэ.  Х тэнхлэгийг тойрох хөдөлгөөнийг эсэргүүцэх чанар буюу х тэнхлэгийн инерцийн масс моментийг Ix, у тэнхлэгийн инерцийн масс моментийг Iy гэхчлэн нэрлэнэ.  Инерцийн масс момент тодорхойлогдохдоо:

Ix = ∫(z2 + y2) dm

Iy = ∫(x2 + z2) dm

Iz = ∫(x2 + y2) dm

Төв цэгийн инерцийн масс момент буюу центройдын инерцийн масс момент нь (centroidal mass moment of inertia) нь биетийн жингийн төв цэгийг дайрсан тэнхлэгийн инерцийн масс моментийг тодорхойлно.  Центройдын инерцийн масс момент нь мэдэгдэж байгаа нөхцөлд тухайн биетийн инерцийн масс моментийг өөр тэнхлэг дээр бодож болно.  Үүний тулд параллел тэнхлэгийн теорем ашиглагдна.

Iпараллель тэнхлэг = Ic + md2

d нь параллель тэнхлэг болон центройдыг дайрсан тэнхлэгийн хоорондох зай, m нь биетийн масс болно.

Аливаа биетийн огтлолын инерцийн радиус (radius of gyration) нь тухайн биетийн массыг тэр чигт нь нүүлгэн инерцийн масс моментийг хэвээр нь хадгалах нөхцөлд тэр нүүлгэсэн зайг илэрхийлсэн хэмжүүр болно.  Өөрөөр хэлвэл тухайн биетийн массын тархалтыг огтлолын инерцийн радиусаар илэрхийлж болно.

r =  √ (I/ m)

Доорхи зургууд түгээмэл биетүүдийн инерцийн масс моментуудыг харуулж байна.

II Өнцгөн момент

Өнцгөн момент (angular momentum) буюу эргэлтийн момент (L) нь биетийн шугаман момент ба тэнхлэгээс авсан зайны вектор үржвэртэй (×) тэнцнэ.

L = r × mv

Өнцгөн момент нь скаляр хэмжигдэхүүнээр инерцийн масс момент ба эргэлтийн хурд буюу өнцгөн хурдны (angular velocity) үржвэрээр тодорхойлогдно.

L = I ω

Эндээс аливаа биетийн өнцгөн моментийг өөрчлөгдөхөд шаардлагатай мушгих хүчийг бодвол

М = dL / dt = d(I ω) / dt

болно.

Эргэлтийн буюу өнцгөн хурдатгал нь өнцгөн хурдны уламжлалтай тэнцнэ.  Тиймээс

α = М / I

ω = ∫ α dt = ω0 + (M/I) t = ω0 + αt

бөгөөд байрлалын өнцөг нь

θ = ∫ α dt2 = θ0 + ω0t + (M/2I)t2

= θ0 + ω0t + (α/2)t2

III Эргэлтийн агшины төв цэг

Аливаа биет нь эргэлдэх хөдөлгөөнд орохдоо ямар нэгэн цэг буюу тэнхлэг дээр агшин зуурын эргэлт хийнэ.  Тэр тэнхлэг цэгийг эргэлтийн агшины төв цэг гэж нэрлэнэ.  Доорхи жишээ нь биетийн уналтын явцад агшин зуур үүсэх эргэлтийн төв цэгийг харуулж P гэж тэмдэглэсэн байна.

Доорхи жишээ нь дугуйны эргэлтийн агшин зуурын тэнхлэг нь Р цэгээр тэмдэглэгдсэнг харуулж байна.

Биет дээрхи аливаа цэгийн шугаман хурдыг эргэлтийн хурд (өнцгөн хурд) ба эргэлтийн агшны төв цэгээс тухайн цэг хүртэлх зайны үржвэрээр олно.

v = r ω

IV Төвөөс зугтах хүч ба төвд тэмүүлэх хүч

Биет нь тойрог замаар хурдатгалтай явах нөхцөлд тухайн биет нь Ньютоны хоёрдугаар хуульд зааснаар хүчний үйлчлэл доор байна гэж үзнэ.  Тойрог замаар явах биет дээр тангенсийн болон перпендикуляр чиглэлд хурдатгал байх бөгөөд тус бүр чиглэлд хүч үйлчлэнэ.

Биетийн тойрог замын төврүү чиглэн үйлчлэх хүчийг төвд тэмүүлэх хүч (centripetal force) , биетийн төвөөс зугтах инерциэс үүсэх хүчийг төвөөс зугтах хүч гэж тодорхойлно  (centrifugal force).  Төвөөс зугтах хүчийг тодорхойлвол

Fc = man = mv2t/r = mr ω2

болно.  an нь төвд тэмүүлэх хурдатгал, vt нь тангенсийн чиглэлдэх хурд болно.

V Замын налуугын өнцөг

http://www.ux1.eiu.edu/~cfadd/1350/06CirMtn/Images/BankedCurve.jpg

Автомашин тойрог замаар хурдтай эргэхэд үүсэх төвөөс зугтах хүчийг тогтоон барих шаардлагатай замын налуугын өнцгийг тодорхойлвол:.

tan θ = v2t/gr

болно. r нь тойргын радиус, g нь дэлхийн татах хүчний хурдатгал, vt нь тангенсийн чиглэл дэх шугаман хурд болно.

VI Мушгирах дүүжин

Мушгирах дүүжин нь холбогч буюу пүрш болон дүүжлэгдсэн жингээс бүрднэ.


Мушгирах холбогчын тогтмол нь

k = ω2I

байх бөгөөд энэ системийг өнцгөн (эргэлтийн) хурд болон хурдатгалаар тодорхойлвол

θ” + (k/I) θ = θ” + ω2n θ = 0

Дифференциал тэгшитгэлээр энэ системийг тодорхойлвол

θ(t) = θ0 cos ω t + (ω 0 / ω)  sin ω t

болно.  Энэ тэгшитгэл нь чөлөөт хэлбэлзлийг илэрхийлсэн дүүжингийн тэгшитгэлтэй ижил төстэй байгааг анхаарна уу.

Categories: Динамик
  1. ochir
    November 5, 2015 at 2:09 pm

    гоё вэб сайт шүү

  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: