1. Даралт ба суналт / stress and strain /

I Тодорхойлолтууд

Материалын механик нь материалын уян хатан чанар болон бат бөх чанарын судалгаа юм.  Материалын механикийг ашиглан биет болон эд анги дээрхи даралт, биетийн өөрчлөлт ба суналт зэргийг бодон олдог.  Материалын механик нь тэнхлэгийн дагуу ачаалалсан даралт, мушгиралтын хүчинд байгаа биетийн эд анги, хоолойн хананд өгөх даралт болон ачаалал, хөндлөвч, багана дээрхи анализ зэргийг бодоход хэрэглэгдэх бөгөөд статикаар бодох боломжгүй бодлогуудыг бодоход хэрэглэгднэ.

Даралт буюу хүчдэл / stress /

Даралт нь талбайд оногдох хүчний илэрхийлэл болно (N/m²).  Даралт нь хоёр төрлөөр ангилагдах бөгөөд тэдгээр нь эгц даралт /normal stress/ ба шүргэх даралт /shear stress/ болно.  Эгц даралт буюу нормал даралт нь хүч талбайтай эгц үйлчлэх нөхцлийг илэрхийлэх бол шүргэх даралт нь хүч талбайтай параллель үйлчлэх нөхцлийг тодорхойлно.

эгц даралт = σ = F_эгц / A

шүргэх даралт = τ = F_{параллель} / A

 Суналт /strain/

Суналт нь механик ачааллаас үүссэн биетийн уртын өөрчлөлтийг илэрхийлнэ.  Суналт нь уртын хэмжээст гарсан өөрчлөлтийг илэрхийлэх учраас {уртын өөрчлөлт/нийт урт} гэсэн хэмжигдэхүүнтэй байна (δ / L =m/m).  Эгц даралтаас үүссэн суналт нь уртрагын дагуух суналт (longitudinal) буюу эгц суналт гэж нэрлэгдэх бөгөөд шүргэх даралтаас үүссэн суналт нь шүргэлтийн (зүсэлтийн) суналт гэж нэрлэгднэ.  Шүргэлтийн (зүсэлтийн) суналт нь өнцгөн суналт гэж бас тодорхойлогдох бөгөөд өнцгөөр бас тодорхойлогдож болно.

 эгц суналт = ε = δ / L

шүргэлтийн/зүсэлтийн  суналт = γ = δ_{параллель} / өндөрлөг = tan θ

 Даралт ба суналтын харьцаа / Хукын хууль (Hooke’s Law) 

Даралт ба суналт нь хоорондоо пропорционал харьцаатай бөгөөд Хукын хуулиар (Гукын/Hooke’s) тодорхойлогдно.

Хукын хууль:

эгц даралт = (эгц суналт) (уян хатны коэффициент)

= σ = Eε

Уян хатны коэффициент буюу уян хатны модуль нь бас Янгын модуль гэж нэрлэгддэг (Young’s modulus).

Суналтын харьцаа:

Тэнхлэгийн дагуу хүч үйлчлэх нөхцөлд тэнхлэгийн дагуу суналт үүсэх ба мөн тэнхлэгээс хажуугийн чиглэлд суналт үүснэ.  Энэ суналтуудын харьцааг Пойссоны харьцаа гэж нэрлэх бөгөөд тодорхойлогдох нь:

ν = – ε_{хажуугийн} / ε_{тэнхлэгийн}

Шүргэлтийн (зүсэлтийн) хүч ба өнцгөн суналт нь пропорциональ байна.

τ = G γ

G нь шүргэлтийн коэффициент буюу хатуу чанарын коэффициент болно.

Эдгээр коэффициентүүд нь хоорондоо харьцах тэгшитгэл нь

G = E / (2(1+ γ))

болно.

 II Нэг тэнхлэгийн дагуух ачаалал ба суналт

Нэг тэнхлэгийн дагуу биет дээр таталтын ачаалал өгөгдөж байвал суналтыг нь нэмэх тэмдгээр тэмдэглэж эерэг гэж үзэх бөгөөд харин шахалтын ачаалал өгөгдөж байвал суналтыг хасах тэмдгээр тэмдэглэж сөрөг гэж үзнэ.

Суналтын тэгшитгэл нь хялбарчлагдан

ε = δ / L = L (σ / E) = P · L / (A · E) = (даралт · нийт урт) / (талбай · уян хатны коэффициент)

гэж бичигдэж болно.  Хэрэв биетийн тэнхлэг дагуу хөндлөн огтлол талбай өөрчлөгдөж байвал

ε = Σ [P · L / (A · E)] = P Σ [L / (A· E) ] = P ∫ dL / (A·E)

болно.

 III Уян хатны потенциал энерги

Өөрчлөлтөнд орж сунасан биенд хадгалагдах энергийг уян хатны потенциал энерги буюу суналтын энерги гэнэ (elastic potential energy or strain energy).  Суналтын энерги нь биетийн суналтанд нөлөөлсөн хүчний ажилтай тэнцнэ.

ажил = хүч · зай

W = ∫ F · dL

Эзлэхүүн дээр хийгдсэн ажил =  ∫ F · dL / эзлэхүүн =  ∫ F · dL / (талбай · урт)

=  ∫ F · dL / (A · L) =  ∫ P · (dL/L) = ∫σ dε

болох юм.

Уян хатны потенциал энерги нь бас харимхай потенциал энергитэй ижил болно.  Нийт харимхай потенциал энерги нь

U = (1/2) k x²

гэж тодорхойлогдох бөгөөд k = EA/L байна.  Тиймээс

U = (1/2) (EA/L) dL²

бөгөөд

dL = ε  = (PL/AE)

учраас

U = (1/2) (EA/L) (PL/AE) ²

= P²L / 2AE

болно.

Нэгж эзлэхүүний суналтын энерги нь

u = U / эзлэхүүн = U / (A·L)

= P² / 2(A²E) = σ² /(2E)

IV Хоёр ба гурван тэнхлэгийн дагуу өгөгдсөн ачаалал

Биетийн өчүүхэн бага хэсэг дээр ачааллах даралтуудыг доорхи зураг харуулж байна.

Биетийн өчүүхэн бага хэсэг дээрхи даралтуудыг хоёр хэмжээс дээр харуулвал:

Сум заасан чиглэлүүд нь эерэг тэмдэгтэй чиглэлийг харуулж байна.

Даралт ба суналтын тэнхлэгийг шилжүүлэх нь

Хоёр тэнхлэг дээр өгөгдсөн даралт ба суналтыг өөр тэнхлэгрүү шилжүүлэн бодож болно.  Доорхи зургыг ажиглана уу.

Зурагт харуулснаар х,у тэнхлэгийг х`,у` тэнхлэгрүү шилжүүлсэн байна.  х`у` тэнхлэг нь θ өнцгөн хазайлтаар х,у тэнхлэгээс өөр байна.  Энэ тохиолдолд шилжүүлэгдсэн эгц ба шүргэх даралтууд нь доорхи тэгшитгэлүүдээр илэрхийлэгднэ.

σ_x’ = (σ_x + σ_y )/2 + ((σ_x – σ_y )/2)cos 2θ + τ_xy sin 2θ

σ_y’ = (σ_x + σ_y )/2 – ((σ_x – σ_y )/2)cos 2θ – τ_xy sin 2θ

τ_x’y’ = – ((σ_x – σ_y)/2) sin 2θ + τ_xy cos 2θ

V Гол даралтууд /principal stresses/

Ачаалалд орсон биет дээр шүргэх даралтны нөлөө байхгүй талбай байна.  Тэрхүү талбай дээрхи эгц даралтуудыг гол даралтууд гэж нэрлэнэ.  Тухайн талбай дээрхи дээд хэмжээний болон доод хэмжээний (maximum and minimum) даралтыг гол даралтууд тодорхойлно.

Гол даралтуудыг (σ₁ ,σ₂) өмнө тодорхойлсон тэнхлэг шилжүүлэх тэгшитгэлийн уламжлалыг θ-аар авч тэгтэй тэнцүүлэн буцаан орлуулж гаргаж бодно.  Гол даралтуудыг мөн доорхи хялбарчилсан тэгшитгэлээр олж болно:

σ₁ ,σ₂ = (σ_x + σ_y )/2 ± τ₁

= (σ_x + σ_y )/2 ± √( ((σ_x + σ_y )/2)²/ + τ²_х,у)

http://www.efunda.com/formulae/solid_mechanics/mat_mechanics/images/PrincipalStress.gif

Гол даралтуудын өнцөг нь х-тэнхлэгээс хэмжигдэх бөгөөд дээд хэмжээний даралт ба доод хэмжээний даралтууд нь хоорондоо 90-хэмийн зайтай байна.  Гол даралтуудын өнцгийг доорхи тэгшитгэл тодорхойлно:

θ _{σ1 ,σ2} = (1/2) arctan (2τ_х,у /(σ_x – σ_y ))

Шүргэх даралтын хамгийн их бөгөөд бага (maximum and minimum) хэмжээ нь

τ₁ , τ₂ = ± (1/2) √((σ_x – σ_y )² + (2 τ_х,у )² )

= ± (σ₁ – σ₂ )/2

байх бөгөөд шүргэх даралтын дээд ба доод хэмжээтэй байх өнцгүүд нь

θ _{τ 1 , τ 2} = (1/2) arctan ((σ_x – σ_y )/(-2 τ_x,y))

гэж тодорхойлогдно.

Мор-ын тойрог /Mohr’s Circle/

Мор-ын тойрог нь график дүрслэлийн аргаар гол даралтуудыг олоход хэрэглэгднэ.

График зураг дээр таталтын даралтыг нэмэх тэмдгээр, шахалтын даралтыг хасах тэмдгээр, нар зөв тэмүүлсэн шүргэх даралтыг нэмэх тэмдгээр, нар буруу тийш тэмүүлэлтэй шүргэх даралтыг хасах тэмдгээр илэрхийлнэ.

wikipedia

Мор-ын тойргыг зурах үе шатууд:

• тэнхлэгийн даралтуудыг бодож ол (σ_x, σ_y, τ_xy)
• босоо тэнхлэгээр шүргэх даралт τ, хөндлөн тэнхлэгээр эгц даралт σ тодорхойлон зур.
• тойргын төвийг буюу дундаж даралтыг доорхи тэгшитгэлээр бодож ол

σ_с = (1/2)( σ_х + σ_у)

• А (σ_у , τ_xy)ба В(σ_у , -τ_xy) цэгүүдийг тодорхойлон зур.  А ба В цэгүүдийг дайрсан шугам нь тойргын төвийг дайрна.  А ба В цэгүүдийг холбох шулууны урт нь тойргын диаметр байна.
• Тойрог нь хөндлөн тэнхлэгийг С ба  Е хоёр цэгээр дайрна.  Эдгээр цэгүүд нь гол даралтуудыг илэрхийлж байна (σ₁ ,σ₂).  Эдгээр цэгүүдийг тойргын тэгшитгэлээр илэрхийлвэл

σ₁ = σ_max = (σ_x + σ_y )/2 + √( ((σ_x + σ_y )/2)²/ + τ²_х,у)

σ₂ = σ_min = (σ_x + σ_y )/2 – √( ((σ_x + σ_y )/2)²/ + τ²_х,у)

            болно.

• Шүргэх максимум даралтыг тойргын зургаас

τ₁ , τ₂ = ± (1/2) √((σ_x – σ_y )² + (2 τ_х,у )² )

гэдгийг олж болно.

• Гол даралтын өнцгийг тойргоос олохын тулд АВ шулууны хөндлөн тэнхлэгтэй үүсгэх өнцгөөс

2θ = arctan (2τ_х,у /(σ_x – σ_y ))

гэдгийг эхлээд харж болно.  Гол даралтын өнцөг нь дээрхи өнцгийн хагастай тэнцнэ.

θ = (1/2) arctan (2τ_х,у /(σ_x – σ_y ))

 Суналтын ерөнхий тэгшитгэлүүд

Даралтаас үүссэн ачаалал доорхи биетийн суналтыг гурван хэмжээс дээр ерөнхий тэгшитгэлүүдээр илэрхийлж болно.

эгц суналт:

ε_x= (1/E) (σ_x –  ν(σ_y + σ_z))

ε_y= (1/E) (σ_y –  ν(σ_х + σ_z))

ε_z= (1/E) (σ_z –  ν(σ_y + σ_х))

шүргэлтийн суналт:

γ _xу = τ_ху /G

γ _yz = τ_yz /G

γ _zx = τ_zx /G

E = уян хатны модуль

G = шүргэлтийн/хатуу чанарын коэффициент

VI Нуралт /failure/

Биет дээрхи таталтын (tension) болон шахалтын (compression) дээд хэмжээний даралт нь материалын бат бөх чанарын хязгаараас илүү гарвал тухайн материал биет нь нуралтанд орно.

Аливаа материалын таталтыг эсэргүүцэх бат бөх чанарын хязгаар нь шахалтыг эсэргүүцэх бат бөх чанараас өөр байдаг.

Аюулгүйн хэмжээ буюу аюулгүйн фактор /factor of safety/

Материалын аюулгүйн хэмжээ нь тухайн материалын бат бөх чанарын хэмжээ буюу даац (S = strength) ба ачааллын даралтын харьцаагаар тодорхойлогдно.

Аюулгүйн хэмжээ = S / σ

Аюулгүйн хэмжээг (FS) урьдаас тодорхойлсон нөхцөлд материалд хэр зэрэг даралт өгч болохыг тодорхойлон тухайн даралтыг дээд хэмжээний өгч болох даралт (σ_max) гэж нэрлэнэ.

σ_max = S / FS

Дээд хэмжээний шүргэлтийн (зүсэлтийн)  даралт

Ган гэх мэт давталтанд орж болдог уян материалын даацыг (нуралтын хэмжээг) олж тодорхойлохын тулд дээд хэмжээний шүргэлтийн (зүсэлтийн) даралтыг олох шаардлагатай.

Материалын бат бөх чанарын хэмжээ нь шүргэлтийн (зүсэлтийн) даралтыг давах хэмжилтээр тодорхойлогдвол (shear strength or yield strength)

SS = ST / 2

болно.  ST нь материалын таталтын даралтыг давах бат бөх чанар болно.

Дээд хэмжээний шүргэлтийн даралт нь τ_max гэж тодорхойлогдвол тухайн материалын шүргэлтийн (зүсэлтийн) даралтыг даах хэмжээ (SS) нь шүргэлтийн (зүсэлтийн) дээд даралтыг давж байх ёстой

SS > τ_max

Шүргэх даралтын даацаар аюулгүй байдлын хэв хэмжээг тодорхойлвол

FS = ST / (2 τ_max)

 Нугаралтын Энергийн Онол

Ган гэх мэт уян хатан материалын нугаралт ба нуралтыг тодорхойлох нэгэн голчлох онол нь нугаралтын энергийн онол болно.  Энэ онолоор “эффектив даралтыг” голлох даралтуудаас гарган олно:

эффектив даралт = σ’ = √(σ²₁ –σ₁σ₂ + σ²₂)

Эффектив даралтыг бас Вон Мисес даралт гэж нэрлэнэ.  Гурван тэнхлэгийн ачаалал дээр эффектив даралт нь

σ’ = √((1/2)(( σ₁– σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² – (σ₃ – σ₁)²))

гэж тодорхойлогдно.

Аюулгүйн хэмжээ нь энэ нөхцөлд таталтын даралтын даац ба эффектив даралтын харьцаагаар тодорхойлогдно.

FS = ST / σ’

Материал нь зөвхөн мушгиралтанд орж нуралтанд орсон нөхцөлд шүргэлтийн даралтын даац нь шүргэлтийн дээд даралттай тэнцнэ.

SS = τ_max

Нугаралтын энергийн онолоор энэ нь

SS = τ_max = ST / √3

гэж тодорхойлогдно.