Home > Материалын Механик > 3. Хөндлөвч дээрхи материалын механик

3. Хөндлөвч дээрхи материалын механик

I. Зүсэлтийн хүч ба мушгих момент

Нэмэх/хасах тэмдэг илэрхийллийн журам

Хөндлөвч дээрхи нэгэн хэсэг газрын зүсэлтийн хүч нь хөндлөвчийн нэг захаас тухайн хэсэг хүртэлх бүх босоо чиглэлийн хүчнүүдийн нийлбэр байна.

Зүсэлтийн хүч = V = Σ F↑↓

Хөндлөвч дээрхи мушгилтын хүч буюу момент нь тухайн хэсгээс хөндлөвчийн зах хүртэлх бүх моментуудын (хүч ба зайны үржвэр) нийлбэртэй тэнцүү байна.

Мушгих хүч = М = Σ F×d + ΣM

Мушгилтын хүчний тэмдгийн илэрхийлэл нь зураг дээр харуулснаар хөндлөвчийг дээш нь мушгисан чиглэлтэй байвал (хөндлөвчийн дээд хэсэг нь шахалтанд, доод хэсэг нь таталтанд) нэмэх тэмдгээр, доошоо мушгисан байвал (хөндлөвчийн дээд хэсэг нь таталтанд, доод хэсэг нь шахалтанд) хасах тэмдгээр илэрхийлэгднэ.

Зүсэлт ба моментийн харьцаа

Ачааллын функцын интеграл нь зүсэлтийн хүчтэй тэнцүү байна.

х1 х2 w(x) dx = V2 – V1

Зүсэлтийн хүчний диаграм нь хөндлөвч дээрхи босоо чиглэл дэх хүчнүүдийг илэрхийлэн зурсан зураг болно.

Хөндлөвч дээрхи хүчнүүдийн диаграммаас зүсэлтийн диаграмыг үүсгэн зурна.

Моментийн буюу мушгилтын диаграм нь зүсэлтийн хүчний диаграмын өөрчлөлтийн хэмжээ буюу уламжлал нь (d/dx) зүсэлтийн хүчний диаграм болж зурагдна.  Доорхи жишээнүүд дээр зүсэлтийн ба мушгилтын диаграмуудыг гарган зурсан нь харагдаж байна.

http://www.ecourses.ou.edu/ebook/statics/ch08/sec082/media/d8241h.gif

http://www.ecourses.ou.edu/ebook/mechanics/ch03/sec032/media/d3241g.gif

Моментийн өөрчлөлт нь зүсэлтийн хүчний функцын интегралтай тэнцнэ.

х1 х2 V(x) dx = М2 – М1

Энэ нь мушгилтын функцын уламжлал нь зүсэлтийн хүч гэсэн үг.

V(x) = d M(x)/dx = V(x)

Зүсэлт/моментийн диаграмaaр зургаар илэрхийлэх нь томъёон илэрхийллээс илүү хялбар бөгөөд амар учраас зүсэлт ба моментийн диаграм өргөнөөр хэрэглэгддэг.

Зүсэлт/моментийн диаграмд мөрдөх журмууд нь:

  • Зүсэлтийн хүч нь тухайн хүчний үйлчлэх хэсгээс хөндлөвчийн зах хүртэлх бүх хүч реакцуудын нийлбэртэй тэнцнэ.
  • Момент функцын өөрчлөлтийн хэм хэмжээ нь зүсэлтийн хүчээр илэрхийлэгднэ.
  • Дээшээ чиглэсэн хүч ба моментууд нь нэмэх тэмдгээр илэрхийлэгднэ.  Доошоо чиглэсэн нь хасах тэмдгээр илэрхийлэгднэ.
  • Нэгэн жигд ачааллын зүсэлтийн диаграм нь шулуун налуу зургаар зурагдна.
  • Нэг цэг дээр төвлөрсөн хүч буюу реакцаас өөр нэгэн төвлөрсөн хүчний хоорондох зүсэлтийн хүчний зураг нь шулуун шугамаар илэрхийлэгднэ.
  • Төвлөрсөн хүч дээрх зүсэлтийн хүч нь тодорхойгүй гэж тооцогдно.
  • Хөндлөвчийн шахалтанд орсон хэсэг дээр моментийн диаграм зурагдна.
  • Моментийн өөрчлөлт нь зүсэлтийн диаграмын интеграл болж зурагдна.  Нэгэн цэгт төвлөрсөн момент нь диаграм дээр тасралт/тасалдал болж зурагдна.
  • Моментийн дээд хэмжээ (максимум) нь зүсэлт 0 байх цэг дээр байна.
  • Доош чиглэлтэй нэгэн жигд ачааллын моментийн зураглал нь доош харсан парабол байна.

II. Хөндлөвч дээрхи даралтууд

Нугаралтын (муруйлтын) даралт

Мушгилт нугаралтанд орсон хөндлөвчийн хэсэглэсэн талбай дээр эгц буюу нормал даралт үйлчлэнэ.  Энэ даралтыг нугаралтын даралт гэж илэрхийлнэ.  Хөндлөвчийн дээд талын хэсэг нь шахалтанд, доод талын хэсэг нь таталтанд орсон нөхцөлд (нэмэх тэмдэгтэй момент) энэхүү хөндлөвч нь доорхи зурагт харуулсан мэт байдалтай байна.  Нугаралтын шахах даралт (compression) ба таталтын даралт (tension) нарын дунд байх завсрын тэнхлэг (neutral axis) дээр даралт огт үйлчлэхгүй.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3a/Internal_Forces_and_Stresses_from_Bending.png

http://www.ecourses.ou.edu/ebook/mechanics/ch04/sec041/media/d4122.gif

http://www.ecourses.ou.edu/ebook/mechanics/ch04/sec041/media/d4123.gif

Нугаралтын даралт (bending stress) нь завсрын тэнхлэгтэй хэр зэрэг зайтай байхаас хамааран өөрчлөгднө.

Нугаралтын даралт = σb = -(Мушгих хүч)(зай) / (талбайн инерцийн момент) = – My/I

Дээд хэмжээний буюу максимум нугаралтын даралт нь хөндлөвчийн завсрын бүсээс дээд зах хүртэлх зайнд байна.  Энэ зайг с гэж илэрхийлвэл

Максимум нугаралтын даралт = σb = -(Мушгих хүч)(дээд зах хүртэлх зай) / (талбайн инерцийн момент) = Mc/I

Стандарт хэмжээстэй хөндлөвч ба барилга угсралтын материалуудын хувьд талбайн инерцийн момент ба дээд зах хүртэлх зай нь хэвшмэл бөгөөд тогтмол байх учраас эдгээрийн харьцааг

S = I/c

гэж илэрхийлдэг.

Эндээс нугаралтын даралтыг

σb = М/S

гэж илэрхийлж болно.

Зүсэлтийн (шүргэлтийн) даралт

Хөндлөвчийн хэсэглэл дээрхи зүсэлтийн даралтын тархац нь зураг дээр харуулснаар байна.

http://www.ecourses.ou.edu/ebook/mechanics/ch04/sec043/media/d4328.gif

http://www.ecourses.ou.edu/ebook/mechanics/ch04/sec043/media/d4329.gif

Зүсэлтийн даралт нь хөндлөвчийн дээд ба доод хязгаарт 0 байх бөгөөд завсрын тэнхлэг дээд дээд хэмжээтэй (максимум) байна.

Хөндлөвчийн зүсэлтийн даралт = τ = VQ/Ib

I = талбайн инерцийн момент

b = хөндлөвчийн өргөн

Q = талбайн статик момент (statical moment of area) = ∫ х1 х2 y dA

Тэгш өнцөгт талбайтай хөндлөвчийн хувьд

Q = (у-аас хөндлөвчийн зах хүртэл үүссэн талбай, А’)(завсрын тэнхлэгээс A’ талбай хүртэлх зай) = A’y’

байна.  Зураг харна уу.

Дөрвөлжин/тэгш өнцөгт талбайтай хөндлөвч дээрхи дээд хэмжээний (максимум) зүсэлтийн даралт нь

τmax,rectangle = 3V/(2A) = 3V/(2bh)

τmax,circle = 4V/(3A) = 4V/(3πr2)

байна.

I-хэлбэртэй хөндлөвч дээрхи зүсэлтийн даралт нь

τI-beam= V/A= V/(d b)

байна.  b нь голч төмрийн зузааны хэмжээ болно.  Зураг харна уу.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/09/I-BeamCrossSection.svg/200px-I-BeamCrossSection.svg.png

III. Хөндлөвчийн муруйлт/хазайлт

Доорхи тэгшитгэл нь мушгих моментийн нөлөөндөх хөндлөвчийн мурийлтыг харуулж байна.

1/ρ=εmax/c = M/EI = d2y/dx2 = dθ/dx

ρ = мурийлтын радиус

c = завсрын тэнхлэгээс хөндлөвчийн зах хүртэлх максимум зай

εmax = хөндлөвчийн дээд хэмжээний (максимум) суналт (урт тэнхлэгээр)

Е = уян хатны модуль

у = мурийлтын хэмжээс (босоо тэнхлэг дээр)

х = мурийлтын хэмжээс (хөндлөн тэнхлэг дээр)

Эндээс мушгилт, зүсэлтийн хүч, ачаалал зэргийн харьцааг ашиглан доорхи тэгшитгэлүүдийг гаргаж болно

y’ = dy/dx = мурийлтын харьцаа

y” = d2y/dx2 = M(x)/(EI)

y”’ = d3y/dx3 = V(x)/(EI)

y”” = d4y/dx4 = w(x)/(EI).

Хэрэв момент буюу мушгилтын функц нь мэдэгдэж байгаа нөхцөлд доорхи тэгшитгэлийг ашиглан хөндлөвчийн дурын цэг дээрхи муруйлтыг олж болно.

EIy = ∫∫M(x) dx

Доорхи зургуудаас элбэг хэрэглэгдэх хөндлөвчийн муруйлтын тэгшитгэлүүдийг олж болно.

http://www.ejsong.com/mdme/memmods/MEM23061A/Bending/Bending_files/BeamBendingTable1.GIF

http://web.mit.edu/course/3/3.11/www/Beamtheory3.gif

 IV. Нийлмэл хөндлөвч

Нийлмэл бүтэц нь олон төрлийн материалаас бүрдсэн бүтцийг тодорхойлно (жишээ нь төмөр бэхжүүлэлттэй бетон).

Энгийн нийлмэл бүтцүүдийг `суналтын тогтвортой байдлын арга`-аар (method of consistent deformations) бодно.  Энэ арга нь материалуудын завсрын бүс нь нэгэн адил хэмжээний суналттай байна гэж авч үзсэн арга болно.

Уян хатны модуль-уудыг материал тус бүр бодож харьцуулсан харьцааг модулын харьцаа гэнэ.

n = E1/E2

Хоёр материалуудын уян хатны чанар багатайг (илүү хатуу) нь 1 тоогоор тэмдэглэвэл тухайн материал дээрхи даралт нь

σ1 = nF/AΔ

болно.  AΔ нь даралтын нөлөөнд өөрчлөгдсөн нийлмэл талбай болно (завсрын бүс дээрхи өөрчлөлтөнд орсон талбай).

Нөгөө материал дээрхи даралт нь

σ2 = F/AΔ

болно.

Муруйлтанд орсон хөндлөвчийн хувьд

σ2 = Mc/I

σ1 = n Mc / I

болох бөгөөд нь өөрчлөгдсөн нийлмэл талбайн (AΔ) инерцийн момент болно.

  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: