2. Статик бодлого бодох арга шатууд

Нугасан тэнхлэг дээр бэхлэгдсэн хөндлөвч гэх мэт статикийн бодлогуудыг доорхи алхмуудаар хялбар бодож болно:

1. Юун түрүүнд координат тэнхлэгийг тодорхойлох хэрэгтэй.  Хүчнүүдийн зүг чигтэй тохируулж координат тэнхлэгээ байрлуулж тодорхойлвол бодлого хялбарчлагдна.
2. Биетийн чөлөөлсөн диаграммыг зурах.  Биетийн чөлөөлсөн диаграммыг зурснаараа хүчнүүдийн ажиллагаа, мушгих хүч момент зэргийг харж ойлгоход хялбар болно.
3. Мушгих хүч нь аль зүгрүү эргэвэл эерэг буюу нэмэх тэмдэгтэй байх вэ гэдгийг тодорхойл.  Бодлогын хариу хасах тэмдэгтэй мушгих хүчтэй гарвал мушгих хүч нь эсрэг зүгт байна гэсэн үг.
4. Нугасан холбоос тэнхлэг дээрхи реакц хүчийг тодорхойл.  Реакц хүчнүүд нь координат тэнхлэгтэй параллель болон перпендикуляр болж тодорхойлогдно.
5. Шулуун хүчнүүдээс үүсэх мушгих хүчнүүдийг нугасан холбоос тэнхлэг дээр бод.  Ингэснээрээ реакц хүчнүүдээс үүсэх мушгих хүчийг бодох шаардлагагүй болж хялбарчлагдна.
6. Мушгих хүчнүүдийг тэнцүүлсэн тэгшитгэл гарга.
7. Босоо координат (У) дээрхи бүх хүчнүүдийг тэнцүүл.
8. Хэвтээ координат (Х) дээрхи бүх хүчнүүдийг тэнцүүл
9. Дээрхи алхмуудаас ихэнх бодлого бодогдно.  Хэрэв мэдэгдэхгүй  хүч үлдэж байвал нугасан тэнхлэг дээрхи реакц хүчнүүдийг нэгтгэсэн тэнцүүлсэн хүчийг (resultant force) гаргаж өөр нэгэн тэнхлэг дээр мушгих хүчний тэгшитгэл гарга.

1. Статик хүчний системүүд

I Хүчнүүд

Статик гэж юу вэ?

Статик нь физикийн механикийн нэгэн салбар бөгөөд хөдөлгөөнгүй хатуу биет дээрхи судалгаа анализ юм.

• `Хатуу биет` нь нугаралт, хэлбэрийн өөрчлөлт зэрэгт ордоггүй биетийг тодорхойлно.
• Биет нь `хөдөлгөөнгүй` байхын тулд хүчний тэнцвэрт байдалд байх ёстой.

Тиймээс статик нь хатуу биет дээрхи хүчний тэнцвэрийн анализ судалгаа болно.

Биет нь хүчний тэнцвэрт (equilibrium) ороогүй нөхцөлд нэг тийш давамгайлсан хүчний нөлөөнд орж хөдөлгөөнд орно.

Хүч нь хүчний хэмжигдэхүүн (magnitude) болон хүчний зүг чигийг илэрхийлсэн нэгж вектороос (unit vector) бүрднэ.  Өөрөөр хэлвэл хүч нь хэмжигдэхүүнтэй байхаас гадна (10N, 200N гэх мэт) зүг чигтэй байна.

Нэгж вектор нь зүг чиг илэрхийлэгч бөгөөд x, y, z координат дээр i, j, k гэж тус бүр бичигднэ.

 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fd/3D_Vector.svg/555px-3D_Vector.svg.png

Хүч нь хэмжигдэхүүн (F налуу үсгээр тэмдэглэгдсэн) ба чиглэлтэй бичигдсэн нь:

F = F_xi + F_yj + F_zk

 Хүчний векторыг гурван хэмжээс дээр (x, y, z) хэмжээс тус бүр дээр бүрэлдүүлэгч векторуудаар задлан бичих нь статикийн хамгийн чухал аргуудын нэг юм.

Бүрэлдүүлэгч векторууд (F_x, F_y, F_z) хүчний чиглэлийн өнцгөөс хамааран тригонометрийн функцаар амархан илэрхийлэгднэ.

Бүрэлдүүлэгч вектор хүчний векторын нь `чиглэлийн косинус` (direction cosine) болох бөгөөд координат болон хүчний вектор хоёрын дунд байгаа өнцгөөс хамаарна.

F_x  = F cos θ_x

F_y  = F cos θ_y

F_z  = F cos θ_z

II Мушгих хүч / Хүчний момент / Torque

Мушгих хүч нь (torque,  moment) бас хүчний момент гэж нэрлэгднэ.  Мушгих хүч нь аливаа биетийг ямар нэгэн эргэлтийн тэнхлэг дээр тулгуурлан эргүүлэх чиг хандлагатай хүчийг хэлнэ.

Аливаа биет нь мушгих хүчний нөлөөнд орсноор эргэлтэнд орно.  Хэрэв биетийн хөдөлгөөн нь хязгаарлагдаж хашигдсан байвал мушгих хүчний нөлөө нь биетийг эргүүлэхгүй ч гэсэн байсаар байна.

Биет дээр хүч үйлчилж байвал ямар нэгэн эргэлтийн хүч тэр биет дээр үйлчилж байгаа гэсэн үг.  Эргэлтийн тэнхлэг хаана байгаагаас хамаарч мушгилтын хүч тодорхойлогдно.

Хүчний чиглэлийн замд байгаа цэгийг эргэлтийн тэнхлэг гэж авч үзвэл тухайн цэг дээр мушгих хүч байхгүй болно.  Мушгих хүч байхын тулд эргэлтийн тэнхлэг болон хүчний хооронд зай байх хэрэгтэй.

Мушгих хүч болон хүчний тэнхлэгийн хоорондох зайг `хөшүүргийн гар` (r) гэж нэрлэнэ (moment arm).

Мушгих хүч буюу хүчний момент (M_o)нь хүч болон хөшүүргийн гарны үржвэртэй тэнцнэ.

M_o = r x F

[N m]

Хөшүүргийн гар нь хүчний вектортой перпендикуляр байх ёстой.  (Хүч ба тэнхлэгийн хооронд дурын зай авч `хөшүүргийн гар` болгож болохгүй.)

 Доорхи зураг дээрээс x, y, z координат тус бүр дээр тэнхлэг болгож мушгих хүчийг тодорхойлвол:

M_х = y F_z – z F_y

M_y = z F_x – x F_z

M_z = x F_y – y F_x

болно.

III Хүчний тэнцвэр

Тэнцүүлсэн хүч:

Тэнцүүлсэн хүч буюу тэнцүү хүч (resultant force / net force) нь хүчийг ганцхан вектор болгон тодорхойлсон байдлыг хэлнэ.

x, y, z гурван чиглэл дээрхи хүчнүүдийн тэнцүү хүч нь:

R = (F_x1 + F_x2 + F_x3 +…F_xn)i + (F_y1 + F_y2 + F_y3 +…F_yn)j + (F_z1 + F_z2 + F_z3 +…F_zn)k

= i Σ F_x + j Σ F_y + k Σ F_z

Мөн тэнцүүлсэн момент (resultant moment) нь мушгих хүчний векторуудыг ганцхан болгож тодорхойлсонг харуулна.

M = Σ M_n

Хүчний тэнцвэрийн нөхцөл:

Хүчний тэнцвэрт байгаа биет нь хөдөлгөөнгүй буюу статик байдалд байна.  Хүчний тэнцвэрт орохын тулд биет дээрхи тэнцүүлсэн хүч болон тэнцүүлсэн момент нь 0 байх ёстой.  Өөрөөр хэлвэл биет дээрхи нийт хүч ба нийт мушгих  хүчнүүд нь биетийг хөдөлгөлгүй тэнцвэртэй байлгаж эсрэг зүгийн хүчнүүдээ тэнцүүлж байх ёстой:

R = 0

M = 0

х, y, z чиглэл дээр:

R_x = 0

R_y = 0

R_z = 0

бөгөөд

М_x = 0

М_y = 0

М_z = 0

болно.

IV Хөндлөвч ба холбоосууд:

Хөндлөвч (Beam) нь статик бодлогууд болон барилга, бүтэц зүйн хамгийн чухал нэгжүүдийн нэг юм.  Статикийн ихэнх анализ бодлогууд хөндлөвч дээрхи анализ байдаг.  Бүтэц барилгын инжинерийн болон угсралтын голлох чухал эд анги болох зүйл бол хөндлөвч бөгөөд төмөр угсралт бүтэцийн хувьд голлох эд анги нь I-хэлбэртэй хөндлөвч (I-beam) байдаг.

Хөндлөвч болон бусад биет нь газартай буюу ханатай холбогдохдоо ихэвчлэн

• Нугасан холбоос (pin connection)
• Кантилевер буюу консоль холбоос (cantilever, moment connection)

-той байна.

Нугасан холбоос нь нугас дээрхи чиглэлийн хүчнүүдийг хязгаарлан тогтоох бөгөөд нугасны тэнхлэг дээрхи эргэлтийг харин хязгаарлахгүй.   Нугасан холбоосоор бэхлэгдсэн хөндлөвч доор тулгуураар тулж байж хөдөлгөөнгүй байдалд оруулна.  Кантилевер холбоос нь хана буюу газартай шууд бэхлэгдсэн холбоос юм.  Кантилевер холбоос нь хөндлөвч дээрхи хүчийг сөрөг мушгих хүчээр хязгаарлах бөгөөд тулгуурын шаардлагагүйгээр хөндлөвчийг хөдөлгөөнгүй байдалд барьж чадна.

V  Статикаар тодорхойлогдох эсэх:

Хүчний анализ хийх явцад зарим систем нь зөвхөн статик (хүчний тэнцвэр) анализ ашиглан тодорхойлогддог бол зарим систем нь статикийн хувьд тодорхойлогдон бодогдож болдоггүй.  Жишээ зураг:

Статик ашиглан бодогдох боломжгүй системүүд нь статикийн хувьд илүүдэл эд анги системд нэмж хийснээс болж үүсдэг.    Статикийн хувьд илүүдэл эд ангиуд нь зарим нөхцөлд бодит байдал дээр шаардлагатай болсноос үүдэн хийгддэг ба зарим нөхцөлд инжинерчлэл, дизайн тааруу хийгдсэнээс болж хийгддэг болно.

Статикаар буюу хүчний тэнцвэр ашиглан бодогдох боломжгүй бодлогуудыг системийн биетийн нугаралт, хэлбэрийн өөрчлөлт зэргийг ашиглан бодно.  Ийм бодлогууд нь статик дээр байхгүй болно.  Статик нь зөвхөн нугардаггүй хатуу биет дээрхи анализийг хүчний тэнцвэр ашиглан бодох арга ухаан юм.

VI Биетийн чөлөөлсөн диаграм ба реакц хүчнүүд

Биетийн чөлөөлсөн диаграм (free body diagram) нь аливаа биет дээр ажиллаж байгаа хүчнүүд болон хариу үйлчлэл хүчнүүдийг (реакцуудыг ) харуулсан диаграммыг хэлнэ.  Биетийн чөлөөлсөн диаграм нь бодлогуудыг амарчлан бодох, системийг хялбарчлан харах зэрэгт хэрэглэгдэх юм.

Реакц нь аливаа хүчний эсрэг хариу үйлчилсэн хүчийг хэлнэ.  Биетийг хязгаарлагчаас шалтгаалан реакцууд өөр өөр байдаг.  Биетийн хөдөлгөөн нь нэг чигт хязгаарлагдсан байвал зөвхөн тэр зүгийн эсрэг талаас реакц хүч байна гэсэн үг.  Биет нь хөдөлгөөнөөс бүрэн хязгаарлагдаж тэнхлэгээр эргэх боломжгүй баригдсан байвал тухайн биет дээр реакц момент (реакц мушгих хүч ) үйчллэнэ.  Товчхондоо биетийг хөдөлгөөнөөс хязгаарласан байвал тухайн биет дээр реакц хүчнүүд байх бөгөөд биет нь эргэлтээс хязгаарлагдсан байвал тухайн биет дээр реакц момент байна.

Реакцын Жишээнүүд:

5. Шингэний хэмжүүрүүд ба загвар харьцуулалт

I- Шахуурга / Насос

 Шахуурга буюу насос  нь (pump) механик энергийг шингэний энергирүү шилжүүлэгч юм.  Шахуургын чадалыг гидравлик чадал буюу усны чадал гэж нэрлэх бөгөөд шахуургаас шингэнрүү шилжсэн нийт энергийг тодорхойлно.

Шахуургыг ажиллуулах моторын чадал ба шахуургын өөрийн чадлын харьцааг `шахуургын үр ашиг` гэж тодорхойлно (pump efficiency).

 η = Q ρ g h / P

• η, шахуургын үр ашиг
• Q, урсгалын хэмжээ
• Ρ, шингэний нягт
• G, дэлхийн татах хүчний тогтмол
• h, шахуургын шингэнд өгөх түлхэлт (head)
• P, шахуургыг ажиллуулах моторын чадал

II. Идеал Хий

Шингэний механикт идеал хийний тэгшитгэлийг мэдэх нь чухал байдаг.  Идеал хий болон тэгшитгэлүүд нь Термодинамик бүлэг дээр дэлгэрэнгүй тайлбарлагдсан байгаа.  Энд маш товчхоноор идеал хийний тэгшитгэл болон зарим термодинамик процессуудын талаар оруулав.

Идеал хийний тэнцэтгэл нь `төлөв байдлын тэгшитгэл` болно (equation of state)

Tөлөв байдлын тэгшитгэл гэж юу вэ?

Физик ба Термодинамикт аливаа төлөв байдлыг бусад төлөв байдлаар илэрхийлэн тэнцүүлсэн тэгшитгэлийг `төлөв байдлын тэгшитгэл` гэдэг.  Төлөв байдал нь даралт, температур, эзлэхүүн гэх зэрэг шинж чанарыг тодорхойлно.

Идеал хийний тэгшитгэл:

p v  = n R T

(даралт, Pa) (хурд, m/s) =  (шингэн эсвэл хийний молекулын тоо хэмжээ, mol)(универсаль хийний тогтмол, 8.314 J·K⁻¹mol^-1)(Температур, K)

Жишээ:

Идеал хийний тэгшитгэл нь хуурай агаар дээр бодогдвол:

p v = R^* _{хуурай агаар} Т

 R^* _{хуурай агаар} = 286.9 J /(kg K)

 болох бөгөөд (R^* _{хуурай агаар} )нь  хуурай агаарын молекулын тоо хэмжээ болон универсаль хийний тогтмолыг нэгтгэн бодсон тогтмол юм.

 R^* _{хуурай агаар} = (универсаль хийний тогтмол, 8.314 J·K⁻¹mol^-1 )/ (Хуурай агаарын молекулын масс, 28.96×10^-3 kg/mol) = 286.9 J /(kg K)

 Идеал хийний тэгшитгэл нь нэгэн хийний хоёр өөр төлөв байдлыг харьцуулсан тохиолдолд

 p₁ v₁ / T₁ = p₂ v₂ / T₂

болно.

Хэрэв температур нь энэ явцад тогтмол байвал тэгшитгэл нь

p v  = тогтмол тоо

болох бөгөөд энэ тэгшитгэлийг Бойлийн Хууль (Boyle’s Law) гэнэ.

Термодинамикийн процессууд ба идеал хийний тэгшитгэл:

Термодинамикийн Адиабат (adiabatic) процессийн явцад дулааны алдагдал гардаггүй.  Изэнтропи процесс нь нэгэн адиабат процесс бөгөөд изэнтропи процессийн явцад энтропи тогтмол байдаг.  Изэнтропи процесс нь эргэлтэнд ордог (хуучин байдалдаа эргэж ордог) процесс юм.

Изэнтропи процессийн явцад идеал хийний тэгшитгэл нь

pv^к = тогтмол тоо

к = c_p / c_v

гэсэн байдалтай байнa.

• c_p нь тогтмол даралтын нөхцөлд байх дулааны багтаамж буюу тодорхой дулаан (specific heat capacity)
• c_v нь тогтмол эзэлхүүнтэй нөхцөлд байх дулааны багтаамж

болно.

Дээрхи тодорхойлолтууд болон бусад термодинамик процессууд Термодинамик бүлэг дээр дэлгэрэнгүй тайлбарлагдсан байгаа болно.

Дууны Хурд:

Дууны хурд нь c гэж тэмдэглэгдэх бөгөөд дуу дамжин явах шингэн буюу хийний шахагдмал чанараас шалтгаалан өөр өөр байдаг.  Идеал хийн дунд явах дууны хурд нь

c = (k R T) ^½

байна.  Агаарын хувьд k = 1.40, молекулын масс нь 29 g/mol гэж тооцон дууны хурдыг бодно.

III Шингэнийг хэмжих нь

Pitot Tube – Пито гуурс:

http://nptel.iitm.ac.in/courses/Webcourse-contents/IIT-KANPUR/FLUID-MECHANICS/lecture-16/images/fig_16.3.gif

Пито гуурс нь шингэний даралтыг болон хурдыг хэмжигч багаж юм.  Пито гуурсны амсраар орох шингэний хурдны болон статик даралтын түлхэлт нь шингэнийг гуурсаар өсгүүлэн явуулсаар зогсох бөгөөд тэрхүү зогсолт дээрхи даралт нь шингэн дээрхи нийт даралт буюу зогсонги байдлын даралт гэж нэрлэгднэ.

Бернуллийн тэгшитгэлийг ашиглан шингэний хурдыг даралтын хэмжээсээс олж болно:

Даралтын түлхэлт + хурдны түлхэлт = нийт түлхэлт

p_s / ρ + v2 / 2 = p₀ / ρ

v = (2 (p0 – ps) / ρ) ^½

Вентурын хэмжигч хоолой:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/78/VenturiFlow.png

Шингэний урсгалын хэмжээг (Q) Вентурын хэмжигч хоолойгоор бодож олж болно.  Вентурын хоолойн бүтэц нь голчоороо (диаметр) өргөсөн нарийсах хоолойтой холбогдсон манометр хэмжигчээс бүрднэ.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Venturifixed2.PNG/800px-Venturifixed2.PNG

Шингэний урсгалын хэмжээг бодохдоо Вентурын хоолойгоор хэмжигдсэн даралтын өөрчлөлт болон хоолойны голчын талбайг ашиглана:

http://upload.wikimedia.org/math/b/3/9/b3957d5041a88a931b9cc42b0c9b71b6.png

Урсгалын боолт ашиглан хэмжих:

Шингэн дамжуулах хоолойн голч диаметрийг нарийсгах зориулалттай нүхтэй шургуулга таваг (orifice plate) гэх мэт зүйлсийг урсгалын боолт гэж нийтэд нь нэрлэж болно.

Боолт ашигласан нөхцөлд гурван янзын голч диаметр хэмжигдэхүүн байдаг.  Тэдгээр нь хоолойн голч, тавагны нүхний голч (orifice diameter), Вена-контракта голч диаметр нар юм.  Вена-контракта диаметр нь урсгалын хамгийн бага хэмжээтэй голчыг тодорхойлох бөгөөд шургуулга тавагны нүхнээс урсгал гарч явсны дараахан ажиглагдах голч юм.

Голчын багасалтын коэффициент нь (contraction coefficient, C_c) хоолойны Вена-контракта талбайг боолтын нүхний талбайтай харьцуулсан коэффициент болно.

C_c = А_vc / A₂

 Хэмжүүрийн урсгалын коэффициент, С, нь:

 С = C_c / {(1 – C_c ²) (A₂ / A₁) ²}^1/2

болно.

Урсгалын хэмжээ нь:

Q = CA ₂ (2(p₁/ ρ – p₂/ ρ))^1/2

байх бөгөөд хэрэв потенциал энергийн ялгаа (өндрийн ялгаа, z) байгаа нөхцөлд

Q = CA ₂ (2(p₁/ ρ – p₂/ ρ + gz₁ – gz₂))^1/2

болно.

Агуулах хооронд дамжих урсгал:

Урсгал нь нэг агуулахаас нөгөөрүү шилжин орох нөхцөлд урсгалын хэмжээг бодох томъёо нь урсгалын боолтын шургуулга таваг хэрэглэгдсэн нөхцөлтэй ижил төстэй байна.  Харин статик даралтууд нь энэ нөхцөлд ижилхэн байх бөгөөд урсгалын хэмжээний томъёо нь

Q = C_c A (2 g (h₁ – h₂))^1/2

болно.

 

Агуулахаас шингэн шууд агаарлуу гадагшилж байгаа нөхцөлд урсгалын хэмжээ нь

Q = CA (2 g h)^1/2

болно.

IV Хэмжээсийн анализ (Dimensional Analysis)

Аливаа үзэгдлийг олон хэмжигдэхүүнүүдээр дүрслэн тэгшитгэл гаргаж авахыг хэмжээсийн анализ буюу dimensional analysis гэнэ.

Хэмжээсийн анализ хийгдэх явцад чухам ямар хэмжигдэхүүн нь үзэгдэлд нөлөөлж байгааг мэдэх чухал байдаг.  Гол хэмжигдэхүүнүүд болох масс, уртын хэмжээ, цаг, температур зэргийг MLθT систем гэж нэрлэнэ.

π-теорем

π-теорем нь хэмжээсийн анализийг хялбарчилсан теорем юм.  Аливаа үзэгдлийг дүрслэх тэгшитгэл нь олон хэмжигдэхүүнүүдээс гадна (масс, цаг, гэх мэт) хэмжигдэхүүнгүй тогтмол тоонуудаас бүрднэ.

Эдгээр хэмжигдэхүүнгүй тогтмол тоонуудыг π гэж тодорхойлвол тухайн тэгшитэл нь

f (π₁, π₂, π₃, …, π_k) = 0

болно.  к нь хэдэн ширхэг хэмжигдэхүүнгүй тогтмол тоо тэгшитгэлд байгааг илэрхийлж байна.

Хэрэв m нь нийт хэмжигдэхүүнүүд болон хэмжигдэхүүнгүй тоонууд, n нь гол хэмжигдэхүүнүүд гэж үзвэл

к = m – n

болно.

Жишээ 1: Шингэний хутгуур

Шингэний хутгуурын цахилгаан хэрэглээг бодоё.  Тэгшитгэл нь шингэний нягт (масс/урт3), дотоод үрэлт буюу наалдамхай чанар (масс/(цаг х урт)), хутгуурын диаметр (урт) , мөн хутгуурын эргэлтийн хурд (урт/цаг) гэсэн хэмжээсүүдээс бүрдэж байна гэж таамаглая.  Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдээс гол хэмжигдэхүүнүүд нь урт, масс, цаг гурав болно.  Тиймээс

нийт хэмжигдэхүүнүүд нь, m = 5

Гол хэмжигдэхүүнүүд буюу фундаментал хэмжигдэхүүнүүд нь, n = 3

Хэмжээсгүй тогтмолууд нь, k = m – n = 2

болно.

Жишээ 2: Атомын бөмбөг

Анхны атомын бөмбөгийн тэсрэлтийн энергийн ялгаралтыг эрдэмтэн Жеоффри Тэйлор бодсон нь:

Атомын бөмбөгийн тэсрэлт нь тэсрэлтийн хугацаа, нэг цэгт ногдох энерги, тэсрэлтийн долгионы радиус, агаарын даралт, агаарын нягт гэсэн таван хэмжигдэхүүнээс бүрднэ.

m = 5.

Эдгээрээс гол хэмжигдэхүүнүүд нь масс, урт, цаг гурав л байна.

n = 3

Тиймээс k = m – n = 2, буюу 2 хэмжигдэхүүнгүй тогтмол тэсрэлтийн  тэгшитгэлд байна.

V Загвар харьцуулалт / Prototype/ Прототип

Бүрэн хэмжээний модел загварыг хийхийн тулд жижиг хэмжээтэй хийгдсэн prototype загвар дээр туршилт анхлан хийгддэг.  Prototype жижиг загварын ажиллагаа, гүйцэтгэл, чанар нь бүрэн хэмжээний моделийн ажиллагаа гүйцэтгэл, чанар зэргийг урьдчилан харуулж байх учиртай.

Prototype нь бүрэн хэмжээний моделийн чанарыг бүрэн гаргаж байвал бүрэн хэмжээний моделтэйгээ механикийн хувьд ижил төстэй гэж хэлнэ.  Механикийн хувьд ижил төстэй байдал нь дотроо геометрийн хувьд ижил төстэй, кинематикийн хувьд ижил төстэй, мөн динамикийн хувьд ижил төстэй гэж хуваагдна.

Геометрийн ижил төстэй байдал нь prototype нь хураангуйлсан хэмжээгээрээ (масштаб) урт, өргөн, талбай, эзэлхүүн зэргээрээ моделтэйгээ ижил төстэй байхыг хэлнэ.

Кинематик ижил төстэй байдал нь prototype ба моделийн урсгалын шинж чанар нь адилхан байна гэсэн үг.

Динамик ижил төстэй байдал нь prototype ба модел дээрхи үйлчлэх хүчнүүдийн харьцаа нь ижилхэн гэсэн үг.

Динамик ижил төстэй байдал байхын тулд prototype-ийн биеийн бүх цэгүүд дээрхи бүх төрлийн хүчнүүд нь модел дээрхи хүчнүүдтэй ижил харьцаатай байх ёстой.  (Таталцлын хүч, наалдамхай чанар, инерци, өнгөц татал зэрэг олон төрлийн хүчний харьцаа)

Доорхи тэгшитгэлүүд нь prototype моделийн динамик ижил төстэй байдлыг харуулна.

[F_I / F_P]_P = [F_I / F_P]_M  

[F_I / F_V]_P = [F_I / F_V]_M  

[F_I / F_G]_P = [F_I / F_G]_M  

[F_I / F_E]_P = [F_I / F_E]_M  

[F_I / F_T]_P = [F_I / F_T]_M  

 

M – модел

P – prototype

F_I – инерцийн хүч

F_P – даралтын хүч

F_G– дэлхийн татах хүч

F_T – өнгөц таталтын хүч (surface tension force)

F_V – дотоод үрэлтийн хүч / наалдамхай байдал / (viscous force)

4. Шингэний Динамик (Fluid Dynamics)

I – Масс, энерги хадгалагдах хуулиуд

Масс хадгалагдах хууль:

Шингэн дамжуулах системд шингэний масс хадгалагдна.  Шингэн дамжуулах хоолойны бүтэц, шингэний дамжин явах зүг чиг, шингэний чанар зэрэг үүнд огт нөлөөлөхгүй.

m̀₁ = m̀₂

Масс хадгалагдах хууль шингэний урсгалд үйлчлэхийг тодорхойлох тэгшитгэлийг `үргэлжлэлийн тэгшитгэл` гэж нэрлэнэ. (continuity equation)

Үргэлжлэлийн тэгшитгэл:

Шингэн дамжуулах систем доторхи хоёр цэгийг дайран өнгөрөх урсгал нь адилхан хэмжээтэй.

m̀ = ρ A v = ρ Q

ρ ₁A₁ v₁ = ρ₂ A₂v₂

[kg/s]

Систем дотор шингэний нягт хувирахгүй бол шахагдахгүй шингэн систем дотор байна гэсэн үг.  Өөрөөр хэлвэл ρ ₁ = ρ₂

Ийм тохиолдолд

A₁ v₁ = A₂ v₂

[m₃/s]

болох юм.

II- Энерги хадгалагдах хууль

Түлхэлт (head):

Шингэний динамикт `түлхэлт` гэж нэр томъёо байдаг.  Энэ нь шингэн даралт, энергиэс шалтгаалж хэр зэрэг дээш түлхэгдэн өргөгдөж байгааг хэмжсэн хэмжүүр юм.

Бернуллийн тэгшитгэл нь шингэний энерги хадгалагдах хуулийг харуулна.

Шингэн дамжуулах системд гурван төрлийн энерги бий гэж үзнэ.  Эдгээр нь

1) даралтын энерги,

2) хурдны энерги

3) потенциал энерги юм.

1) Даралтын энерги:

Шингэнийг шахан даралтанд оруулвал шингэний энерги ихсэнэ.  Шингэний даралтын энерги нь нэгж масс-т хуваагдсаныг энэ тэгшитгэлээр тодорхойлно:

E_p = p / ρ

[N/kg = m²/s²]

Дээрхи тэгшитгэлийн хоёр талыг дэлхийн татах хүчний тогтмолд хуваавал:

E_p / g = p / ρ g

болох бөгөөд хэмжих нэгж нь метр буюу уртын хэмжээс болно.

Тиймээс үүнийг hp буюу даралтын түлхэлт гэж тодорхойлох юм:

h_p = E_p / g

h_p = p / ρ g

[m]

Даралтын түлхэлт нь даралтын энерги шингэнийг хэр өндөрт түлхэх вэ гэдгийг харуулсан хэмжүүр юм.

2) Хөдөлгөөний/Хурдны энерги (kinetic):

Шингэнийг хөдөлгөөнд оруулахад энерги шаардагдах нь тодорхой бөгөөд тэрхүү энергийг хөдөлгөөний энерги гэнэ.

Хөдөлгөөний энергийг нэгж масс-т хуваасан тэгшитгэл нь:

E_v = v² / 2

[N/kg = m²/s²]

болно.

Энэ тэгшитгэлийг дэлхийн татах хүчний тогтмолд хуваавал хурдны түлхэлт гарна:

h_v = E_v / g = v² / 2g

[m]

Хурдны түлхэлт хурдны энерги шингэнг хэр өндөрт түлхэж байгааг харуулсан хэмжүүр юм.

3) Потенциал энерги:

Шингэн дээр потенциал энерги бас үйлчлэнэ.  Өндөрт өргөгдсөн шингэн нам доор байгаа шингэнээс илүү энерги агуулахыг потенциал энергийн ялгаа илэрхийлнэ.  Шингэний потенциал энергийн нэгж масс-т хуваагдсан тэгшитгэл нь:

E_z = z g

[N/kg = m²/s²]

Потенциал энергийн нөлөөгөөр үүсэх түлхэлтийг потенциал түлхэлт гэнэ:

h_z = E_z / g = z

[m]

Потенциал түлхэлт нь шингэний өндөрлөгтэй тэнцэх юм.

III- Бернуллийн тэгшитгэл (Bernoulli’s Equation)

Шингэний системд энерги хадгалагдах хуулийг Бернүллийн тэгшитгэл харуулна.  Шингэний хоолой доторхи нийт энерги нь:

Даралтын энерги + хөдөлгөөний энерги + потенциал энерги

байх бөгөөд нийт энерги нь хоолой доторхи байрлалаас үл хамаарч нэг хэвийн тогтмол байна.

Бернуллийн тэгшитгэл нь:

p₁ / ρ g + v₁² / 2g + z₁ = p₂ / ρ g + v₂² / 2g + z₂

гэж бичигдэж болох бөгөөд дээрхи хувилбарт хоёр өөр цэгт байх шингэний түлхэлтүүдийн нийлбэр тэнцүү байхыг харуулж байна.  Бернуллийн тэгшитгэлийг хэрэглэхэд шингэнийг шахагдашгүй чанартай буюу тогтмол нягттай гэж тооцно.

Бернуллийн тэгшитгэлийг дүрсэлсэн зураг:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/20/BernoullisLawDerivationDiagram.svg/600px-BernoullisLawDerivationDiagram.svg.png

Үрэлтийн алдагдал:

Шингэн дамжуулах хоолойд үрэлтийн алдагдал (friction loss) гарах бөгөөд энэ алдагдлыг Бернуллийн тэгшитгэл дээр нэмж харуулж болно:

p₁ / ρ g + v₁² / 2g + z₁ = p₂ / ρ g + v₂² / 2g + z₂ + h_f

h_f нь үрэлтээс үүсэх алдагдлыг илэрхийлж байна. Үрэлтийн алдагдал нь шингэний даралтыг унахад хүргэнэ.

Үрэлтийн алдагдлыг тодорхойлвол:

h_f = (p1 – p2) / ρ g

болно.

IV-Рейнолдын тогтмол (Reynolds Number)

Рейнолдын тогтмол нь шингэний нийт инерцийн хүчнүүд ба дотоод үрэлтийн хүчнүүдийн харьцааг илэрхийлсэн тоо бөгөөд Re гэж тэмдэглэгднэ:

Re = v D ρ / μ

Re = (шингэний урсгалын хурд) (урсгалын диаметр) (шингэний нягт) / (шингэний дотоод үрэлт буюу зуурамтгай чанар)

Аажуу урсгал:

Урсаж байгаа шингэний эгэл бөөмс (particles) нь бүгд нэгэн чигт урсгалын дагуу явж байвал тухайн шингэний урсгалыг `аажуу урсгалтай` (laminar flow) гэж тодорхойлно.

Ихэнх тохиолдолд аажуу урсгалтай шингэний хурд нь бага, урсгалын өргөн нь бага, байх бөгөөд мөн шингэн нь зуурамтгай  чанартай байдаг.  Аажуу урсгалтай шингэний Рейнолдын тогтмол нь 2100-аас доош байдаг.

http://www.ceb.cam.ac.uk/pages/mass-transport.html

 Хуйлрах урсгал:

Урсаж байгаа шингэний эгэл бөөмс нь зэрэг олон зүгт хөдөлгөөнтэй байвал ийм урсгалыг `хуйлрах урсгал` (turbulent flow) гэж нэрлэнэ.  Хуйларсан  урсгалтай шингэний Рейнолдын тогтмол нь 4000-аас дээш байдаг.

Шингэний Рейнолдын тогтмол нь 2100-аас 4000-ын хооронд байвал тухайн шингэн нь шилжилтийн бүсэнд (transition zone) байгаа гэж үзнэ.

 

V- Урсгалын тархалт

Аажуу урсгалтай шингэн хоолойгоор урсахад хоолойны хананд тулсан эгэл бөөмс хананд зуурагдна.  Тиймээс ханатай ойрхон байгаа шингэний бөөмс нь хурдаар бага байдаг.  Шингэний дундаж хурд нь

V = Q / A

гэж тодорхойлогдох бөгөөд Q нь урсгалын хэмжээ [m³/s], A нь урсгалын эгц өнцгийн талбай юм [m²].

Аажуу урсгалтай шингэний тархалт нь парабол хэлбэртэй байна.

http://homepages.cae.wisc.edu/~chinwu/CEE310_Fluid_Mechanics/Picture/Picture_of_the_week_2007/Picture_of_the_week_2007.html

Дугуй талбайтай хоолойгоор урсах шингэний дээд хурд нь

 Vmax = 2 V

хоёр хавтгай биетийн хооронд урсах шингэний дээд хурд нь

Vmax = 1.5 V

байх юм.

Дугуй талбайтай хоолойн аль ч хэсэгт байгаа шингэний хурдыг энэхүү томъёогоор бодно:

V_r = V_max (1 – (r/R)²)

r нь хоолойны төв цэгээс хэмжигдсэн зай, R нь хоолойны радиус болно.

Үүнтэй адил хоолой доторхи шингэний шүргэх хүчдэлийг (shear stress) бас олж болно.  Үүний тулд хоолойн хананд байгаа шүргэх хүчдэлийг мэдэж байх шаардлагатай:

τ = τ_хана · r / R

VI- Хоолой доторхи урсгал

Дарсигийн хууль (Darcy’s Law):

Үрэлтийн алдагдлыг тооцоолон бодох нэгэн арга нь Дарсигийн хуулийг ашиглах юм.  Дарсигийн тэгшитгэлээр аажуу болон хуйлрах урсгалтай шинтэний үрэлтийн алдагдал бодогдож болно.  Үрэлтийн алдагдлыг бас түлхэлтийн алдагдал гэж нэрлэдэг.

http://upload.wikimedia.org/math/f/2/1/f2133e35e7741ef6a9ea1a3da4daa37f.png

 h_f нь үрэлтийн алдагдал (friction loss / head loss)

L нь хоолойн урт

D нь урсгалын диаметр

V нь урсгалын дундаж хурд

g нь дэлхийн татах хүчний тогтмол

f нь Дарсигийн үрэлтийн коэффициент (Darcy friction factor)

болно.

Даралтын үрэлтийн коэффициент, f, -ийг зураг ашиглан олдог.  Даралтын коэффициентийн зураг буюу Муди диаграм (Moody Diagram) нь доор дүрслэгдсэн байна.

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Moody_diagram.jpg”>http://en.wikipedia.org/wiki/File:Moody_diagram.jpg

Зурагны доод талын хэмнэлээс Рейнолдын дугаарыг (Re) оруулаад, баруун талын босоо хэмнэлээс ε / D харьцааг оруулаад мурий шугамыг дагуулан харж зүүн талын босоо хэмнэлээс үрэлтийн коэффициент (friction factor, f) олдох болно.

ε / D харьцаа нь хоолойны өө сэвийг урсгалын диаметртэй харьцуулсан харцаа юм.  Хоолойны өө сэв (pipe roughness) нь материалаас шалтгаалан өөрчлөгдөх бөгөөд бас зураг хүснэгт дээр өгөгдсөн байна. Хоолойны өө сэв нь хоолойны барзгар, торвуутай байдлыг илэрхийлсэн шугаман хэмжүүр тоо юм.

Дарсигийн тэгшитэлээс дүгнэвэл хоолойны материал нь ямар байх нь үрэлтийн алдагдалд хамаагүй бөгөөд харин хоолойны өө сэв нь үрэлтийн тогтмолтой шууд холбоотой байна.

Үрэлтийн алдагдлыг олох нь шингэн дамжуулах хоолойн системийг зохион бүтээх, засах зэрэгт онцгой чухал нөлөөтэй.  Үрэлтийн алдагдлыг олохгүйгээр Бернуллийн тэгшитгэлийг практик нөхцөлд хэрэглэх нь учир дутагдалтай болно.

Хаген – Пуазёил-ийн тэгшитгэл

 

Аажуу урсгалтай шингэн нь дугуй хэлбэртэй огтлолтой хоолойгоор (цилиндр хэлбэртэй) урсаж байгаа нөхцөлд даралтын өөрчлөлт нь Хаген-Пузаеилийн тэгшитгэлээр бодогдож болно.

http://upload.wikimedia.org/math/5/5/8/558f317b3798844ad11293586bd69ce1.png

ΔP нь даралтын өөрчлөлт

L нь хоолойны урт

μ нь дотоод үрэлт (dynamic viscosity)

Q нь урсгалын хэмжээ (flow rate)

d нь урсгалын диаметр

болно.

VII- Дугуй биш хэлбэрийн огтлолтой хоолойгоор дамжих урсгал

Урсгал нь дугуй хэлбэртэй огтлолтой (цилиндр) хоолойгоор урсаж байгаа нөхцөлд диаметр, радиус зэргээс хамааралтай тэгшитгэлүүдийг ашиглагдан бодлогуудыг бодож болно.  Харин дугуй биш хэлбэртэй хоолойгоор урсах шингэн дээр анализ хийхэд өөр томъёололууд, тэгшитгэлүүд хэрэглэгдэх нь тодорхой.

Дугуй хэлбэртэй огтлолтой хоолойгоор урсах шингэн нь даралтын нөлөөгөөр урсаж байгаа нөхцөлд шингэн нь өөрөө дугуй огтлолтой хэлбэрийг олж авна.  Ийм үед шингэний диаметр нь хоолойны дотоод диаметртэй тэнцнэ гэсэн үг.

Харин хоолой дотор дэлхийн татах хүчний нөлөөгөөр аяндаа урсаж байгаа шингэн нь хоолойны дугуй хэлбэрийг авахгүй.  Ийм үед шингэн дээр даралтын нөлөө байхгүй байна.

Урсаж байгаа шингэний хэлбэрийг тодорхойлоход гидравлик радиус (hydraulic radius) гэсэн харьцаа хэрэглэгднэ.

Гидравлик радиус = урсгалын огтлолын талбай / урсгалын `нойтон периметр`

гэж тодорхойлогдно.  Урсгалын `нойтон периметр` нь урсах шингэн, хоолой хоёрын хүрэлцэх нийт уртын хэмжээ периметрийг тодорхойлно.  Шингэний хөндлөн огтлолын доорхи зургаас харвал нойтон периметр нь улаан өнгөөр дүрслэгдсэн байна.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0a/Wetted_Perimeter.svg/626px-Wetted_Perimeter.svg.png

Дугуй хэлбэртэй огтлолтой хоолойгоор даралтын доор урсах шингэн нь ямар гидравлик радиустай байх вэ?  Гидравлик радиус нь

R_H = π R² / 2 π R

R_H = R / 2 = D / 4

байх болно.  Гидравлик радиус нь шингэний огтлолын радиустай (R) ижил биш гэдгийг анхаарна уу.

Аливаа шингэний гидравлик радиус нь дамжуулах хоолойны хэлбэрээс үл шалтгаалан энэ томъёотоор бодогдно:

R_H = R / 2 = D_H / 4

D_H нь гидравлик диаметр буюу тэнцэтгэсэн диаметр юм.  Гидравлик диаметр нь аливаа урсгалын огтлолын хэлбэрээс үл шалтгаалж оноогдсон нэр томъёо юм.  Урсгалын гидравлик диаметрийг доорхи томъёогоор бодож болно.

D_H = 4 R_H = 4 · (урсгалын огтлолын талбай / урсгалын `нойтон периметр` )

Гидравлик диаметр нь Дарсигийн тэгшитгэлд урсгалын диаметрийн оронд хэрэглэгдэж болно.  Тиймээс ямар ч хэлбэртэй урсгалын гидравлик диаметрийг мэдэж байвал тухайн урсгалын үрэлтийн алдагдлыг бодож болно гэсэн үг.

h_f = (f · L · V²) / (2 D_H · g)

VIII- Хоолойн залгалтууд, өргөсөлт, нарийсалтаас үүсэх алдагдлууд

Урсгалын явцад үрэлтийн алдагдлаас гадна бусад бага хэмжээтэй алдагдлууд гардаг нь хоолойны өөрчлөлтүүдээс үүдэлтэй алдагдлууд юм.  Хоолойны зүг чигийн өөрчлөлт, хоолойны холболтууд (fitting), хоолойны талбайн томролт, жижигрэлт зэргээс урсгалын энергид алдагдал гарах бөгөөд тэдгээр алдагдлууд нь ихэнхдээ үрэлтийн алдагдалтай харьцууулвал бага хэмжээтэй байна.  Тиймээс эдгээр алдагдлуудыг `бага хэмжээний алдагдлууд` (minor losses) гэж нийтэд нь хэлнэ.

Шингэний энергийн тэгшитгэлийг (Бернуллийн тэгшитгэл) бага алдагдлуудыг оролцуулан бичвэл

p₁ / ρ g + v₁² / 2g + z₁ = p₂ / ρ g + v₂² / 2g + z₂ + h_f +h _{L, холбоос}

болох юм.  Бага алдагдлууд нь h _{L, холбоос}  гэж тэмдэглэгдсэн байна.  

Бага алдагдлуудыг олохын тулд хоолойны өөрчлөлтүүдийг илэрхийлэх алдагдлын коэффициентүүд хэрэгтэй болно.  Ямар нэгэн холбоосын алдагдлын коэффициент, C,  нь (loss coefficient) шингэний кинетик энергиэр үржигдвэл тухайн холбоосын алдагдал олдох болно.

h _{L, minor}  = C (v² / 2 g)

Алдагдлын коэффициентүүд нь хүснэгт дээр өгөгдсөн байдаг.  Доорхи жишээ нь хоолойны холбоосуудын алдагдлыг харуулж байна.

Хоолойны холбоос                                                    Алдагдлын коэффициент

Т-хэлбэртэй амсаран холбоос, шулуун урсгал                    0.2

Т-хэлбэртэй эргэдсэн холбоос, шулуун урсгал                   0.9

Т-хэлбэртэй амсаран холбоос, салаалах урсгал                  1.0

Т-хэлбэртэй эргэдсэн холбоос, салаалах урсгал                 2.0

Шулуун эргэдсэн холбоос                                                     0.08

90-градусын тохой эргэлт, амсаран холбоос                      0.3

90-градусын тохой, эргэдсэн холбоос                                 1.5

45 градусын тохой, амсаран холбоос                                  0.2

45 градусын тохой, эргэдсэн холбоос                                 0.4

Бөмбөлгөн хавхлаг, нээлттэй                                               10

Шургуулган хавхлаг, нээлттэй                                             0.15

Урсгал нь хоолойноос шингэний агуулах савруу орох, гарах зэрэгт бас урсгалын энергид бага алдагдал гарна.  Доорхи хүснэгт нь оролт гаралтын  алдагдлыг харуулж байна.

Оролт / Гаралт                                   Алдагдлын коэффициент

Шууд (нээлттэй) гаралт                                            1.0

Цоргоор гаралт                                                          0.8

Хурц өнцгөөр оролт                                                  0.5

Дугуйлсан өнцгөөр оролт                                         0.1

IX. Олон замт хоолойнууд

 Дамжуулах хоолойг хоёр салаалуулан параллель татаж буцаан нийлүүлсэн нөхцөлд доорхи хуулиуд үйлчилнэ.

 1) Урсгал нь хуваагдахдаа түлхэлтийн (үрэлтийн) алдагдлыг хоёр салаанд ижил хэмжээтэй байлгахаар хуваагдаж урсана.

h_{f, А} = h_{f, B}

Дарсигийн тэгшитгэлээр бол:

(f_A · L_A · V_A²) / (2 D_A · g) =  (f_B · L_B · V_B²) / (2 D_B · g)

байна гэсэн үг.

2) Урсгалын салаалаллын нийт түлхэлтийн алдагдал нь салаа тус бүр дэхь алдагдалтай тэнцүү байна.

h_{f, 1-2} = h_{f, А} = h_{f, B}

3) Нийт урсгалын хэмжээ нь (flow rate, m³/s) салаа тус бүрийн урсгалын хэмжээний нийлбэртэй тэнцнэ.

Q_T = Q_A + Q_B

Урсгалын хэмжээ нь талбай, хурдны үржвэр (Q = А V) учраас:

(π / 4) D²₁ V₁ = (π / 4) D²_AV_A + (π / 4) D²_BV_B

                                                            = (π / 4) D²₂ V₂

байх болно.

X. Нээлттэй сувгийн урсгал

Нээлттэй сувгаар урсах урсгал дээрхи бодлогыг ихэнх тохиолдолд Маннингийн тэгшитгэлийг ашиглан боддог.  Суваг, шуудуу, голын урсгал зэрэг нь энэ томъёогоор голцуу бодогдно.

http://upload.wikimedia.org/math/c/f/5/cf5b2cdbfbcee2f970825a3abf35baf6.png

• V нь  урсгалын дундаж хурд (ft/s, m/s)
• k = 1, (метрийн систем биш Америкийн хэмжүүрийн систем хэрэглэсэн тохиолдолд k  нь 1-ээс өөр тоотой тэнцнэ.)
• n нь Маннингийн коэффициент буюу урсах сувгийн өө сэвний коэффициент (суваг нь бетон байвал n = 0.013)
• R_H нь гидравлик радиус.
• S нь сувгийн налуу байдал (Δy / Δx).  S нь бас нэгж урт тутам гарах үрэлтийн алдагдалтай (head loss) тэнцнэ.  (S = h_f/L)

Дугуй хэлбэрийн огтлолтой (цилиндр хэлбэртэй) хоолойгоор дэлхийн татах хүчээр аяндаа урсах дүүрэн биш урсгалыг Хазен – Виллиамсын тэгшитгэлээр бодно.

http://upload.wikimedia.org/math/0/5/7/057e2c6fca0454e075b824071b2e03fb.png

• V нь урсгалын дундаж хурд
• k нь метрийн системийн бодлогод 0.849-тэй тэнцнэ.
• R_H нь гидравлик радиус.
• S нь сувгийн налуу байдал (Δy / Δx).  S нь бас нэгж урт тутам гарах үрэлтийн алдагдалтай (head loss) тэнцнэ.  (S = h_f/L)
• C нь Хазен – Виллиамсын өө сэвийн коэффициент (хүснэгт харна уу)

Материал                               Хазен – Виллиамсын өө сэвийн коэффициент

Асбесто-цемент                                             140

Тоосго                                                             100

Ширэм                                                            130

Шавар                                                             110

Бетон                                                              130

Ган                                                                  110

Мод                                                                 120

XI. Импульс – Моментийн хууль

Биет дээр үйлчэх Импульс (I) нь биетийн моментийн (P) өөрчлөлттэй тэнцдэг.  (Ньютоны хоёрдугаар хууль)

I = ΔP

Тогтмол үйлчлэх хүчний Импульс нь тухайн хүчний хэмжээ болон үйлчлэх хугацааны үржвэртэй тэнцнэ.

I = FΔt

Момент (P) нь биетийн масс, хурдыг илэрхийлсэн вектор хэмжигдэхүүн юм.

 P = mv

 I = FΔt = ΔP = mΔv

= m (v₂ – v₁)

 Шингэний урсгалаар масс дамжихыг илэрхийлвэл

 m̀  = m / Δt

 байдаг.  Хүч дээрхи тэгшитгэлүүдийг нэгтгэж илэрхийлвэл

 F = m Δv / Δt = m̀  Δv

 болно.  Массын урсгал нь доорхи тэгшитгэлээр тодорхойлогддогыг сана:

 m̀ = ρ A v = ρ Q

 Тиймээс хүч нь

 F = ρ A v Δv = ρ Q Δv

 байх болно.  Эндээс аливаа эзэлхүүн дээрхи импульс – моментийн хуулийг тодорхойлвол

 Σ F = Q₂ ρ₂ v₂ – Q₁ ρ₁ v₁

 (Q нь урсгалын хэмжээ, m₃ / s)

Хоолойны мурийлт, томролт, багасалт:

Хөдөлгөөнтэй шингэн дээр үйлчлэх хүчүүд нь дэлхийн татах хүч, статик даралтын хүч, үрэлтийн хүч, эргэлт мурийлт дээрхи хоолойны хананаас түлхэх хүч гэх зэрэг байна.   Шингэний динамикийн анализ дээр олон тохиолдолд үрэлтийн хүчийг маш бага бөгөөд ач холбогдолгүй (negligible) гэж тооцон бодлогын тэгшитгэлд оруулахгүй.

Доорхи жишээ нь хоолойн мурийлт дээр үйчлэх хүчний диаграммуудыг харуулж байна.

Шингэний даралтын хүч нь хоолойны оролтын хэсэгт (#1) p₁ А₁, гаралтын хэсэгт (#2) нь p₂ А₂ гэж тэмдэглэгдсэн байна.  (Шингэн дээрхи статик даралтын хүч нь шингэний даралт болон хоолойны талбайн үржвэртэй тэнцэдгийг сана.)

Хоолойны эргэлтээс шалтгаалан түлхэх хүч нь F гэж тэмдэглэгдэх бөгөөд F нь зураг дээр F_X, F_Y гэсэн хоёр чиглэлийн вектороор илэрхийлэгдэж байна.

Эргэлтийн өнцөг нь α гэж тэмдэглэгдсэн байна.

Эдгээрийг нэгтгэн хүчний анализ хийвэл:

Х чиглэлд байгаа хүчнүүдийн тэнцэтгэл:

– F_x = p₂  A₂ cos α – p₁ А₁ + Q ρ v₂ cos α – Q ρ v1

болно. Хоолойны гаралт (#2) дээр байгаа даралтын хүчний Х цэгт үйлчлэх вектор нь хоолойны эргэлтийн өнцөгөөс (α ) шалтгаалан p2  A2 cos α  байна.  Шингэний момент нь X чиглэлд шингэний өөрчлөгдөх хурднаас хамааран {Q ρ v₁ – Q ρ v₂ cos α} байна.  Энэ тохиолдолд шингэний нягт болон урсгалын хэмжээ нь тогтмол гэж үзсэн байна.

Y чиглэлд байгаа хүчнүүдийн тэнцэтгэл:

F_Y =  p₂  A₂ sin α + m g + Q ρ v₂ sin α

болно.  Y чиглэлд p1A1 даралтын хүч ачаалал өгөхгүй байгааг анхаар.  Шингэний жин нь (m g ) Y цэгт байна үйлчлэнэ.  Шингэний жин нь өчүүхэн бага гэж тооцвол анализд оруулахгүй байж болно.  Y чиглэлд шингэний момент нь Q ρ v₂ sin α байна.

Тийрэлтэт Хөдөлгөөн:

 

Импульс моментийн хуульний нэгэн чухал хэрэглээ нь тийрэлтэт хөдөлгөөн юм.

Тийрэлтэт хөдөлгөөний нэг энгийн жишээ нь том хэмжээтэй агуулах савнаас олгойдож гарах шингэний цацралт байна:

http://www.usbr.gov/pmts/hydraulics_lab/pubs/wmm/fig/F02_02AL.GIF

Бернуллийн тэгшитгэлийг ашиглан агуулах доторхи шингэн дээр хоёр цэг авч эхний цэгийг шингэний гадаргуу дээр, хоёрдахь цэгийг цоргоор цацрах цэг дээр авбал

p₁ / ρ g + v₁² / 2g + h= p₂ / ρ g + v₂² / 2g

бөгөөд гадаргуу дээр даралт, хурд хоёрыг байхгүй гэж тооцох учраас

p₁ = 0, v₁ = 0,

байна.  Агуулахаас гадагшаа цоргоор цацрах цэг дээр шингэний даралт бас байхгүй байх учраас

p₂ = 0

байх болно.  Тиймээс энэ тохиолдолд Бернуллийн шингэний энергийн тэгшитгэл нь

v₂²  = v² = 2 g h

болно.  Энэ нь шингэний гадагшлан тийрэлттэй цацрах хурдыг бодох тэгшитгэл юм.

Тийрэлтэт шингэний хүчийг доорхи томъёо илэрхийлнэ:

F = m̀ (v₂ – v₁)

m̀ = ρ Q, бөгөөд v₁ = 0, учраас

F = ρ Q v₂

Q = A v, учраас

F = A₂ v₂ ρ v₂ = A₂ ρ v₂²

= A₂ ρ (2 g h)

байна.

Сэнс ба Далавчны нөлөө:

Хөдөлгөөнгүй далавч:

Зурган дээр харуулсанчлан хөдөлгөөнгүй далавч нь шингэний урсгал дээр F хүчээр Х, Y чиглэлд үйлчилнэ.  Урсгал нь v₁ хурдаар далавчруу очиж v₂ хурдаар далавчнаас хазайн явна.  Хазайлтын өнцөг нь α.  Шингэн нь Х чиглэлд удааширч, Y чиглэлд хурдатгал авна.

Хөдөлгөөнгүй далавчны шингэнд үзүүлэх нөлөөг хүчний тэнцвэрээр харуулвал:

– F_x = Q ρ v₂ cos α  – Q ρ v₁ = Q ρ (v₂ cos α  – v₁)

 F_Y = Q ρ v₂ sin α

байх болно.

Ийм нөхцөлд хүчний тэгшитгэл нь:

– F_Х = – Q ρ (v₁ – v) (1 – cos α)

– F_Y = Q ρ (v₁ – v) sin α

байна.

Хөдөлгөөнтэй далавч:

Далавч нь хөдөлгөөнтэй байгаа нөхцөлд зөвхөн шингэний далавчтай харьцах харьцангуй хурд л шингэний моментэд нөлөөлнө.

Ийм нөхцөлд хүчний тэгшитгэл нь:

– F_Х = – Q ρ (v₁ – v) (1 – cos α)

– F_Y = Q ρ (v₁ – v) sin α

байна.

Импульсийн турбин хөдөлгүүр (impulse turbine):

Импульсийн турбин хөдөлгүүр нь дугуйн дээр суурилуулсан хутгуурууд эсвэл далавчнаас бүрднэ.

Тийрэлттэй шингэн (fluid jet) нь турбиний далавчыг түлхэхэд дамжуулагдах энерги нь:

 W = Q ρ (v₁ – v) (1 – cos α) v

байх болно.

Турбины далавчны онолын хувьд байж болох дээд хурд нь (maximum theoretical velocity) тийрэлтэт шингэний хурдтай тэнцнэ.  Энэ тохиолдолд турбин нь ачаалалгүй хоосон эргэлднэ.

Турбин хөдөлгүүрийн дээд талын чадал нь тийрэлтэт шингэний хурдны талтай тэнцэх хурдаар турбины далавч хөдөлж байхад гарна. (v = v1 / 2)

Мөн хазайлтын өнцөг (α )  нь 180 хэм байх тохиолдолд турбины дээд чадал гарна.

 

Тиймээс турбины дээд чадалыг (v = v1 / 2) болон (α = 180 хэм) гэж чадалын тэгшитгэлд орлуулан бодно:

W’_max = Q ρ (v₁² /4) (1 – cos α)

= Q ρ (v₁² /4)

XII Чирэлт

Чирэлт нь биетийн хөдөлгөөний эсрэг зүгт үйлчлэх үрэлтийн хүч юм.  Чирэлгийн хүч нь чирэлтийн коэффициент (C_D ), биетийн талбай (A), шингэний нягт, биетийн шингэнтэй харьцангуй хурд (v) зэргээс хамаарна:

 F_D = C_D A ρ v² / 2

Биетийн талбай (А) нь тухайн биетийн шингэний эгц сөрөн явах өнцгөөс авсан перпендикуляр тусгал талбай юм.

Чирэлтийн коэффициент нь Рейнолдын дугаараас хамаарах тогтмол болно.

http://scienceworld.wolfram.com/physics/cimg403.gif

Чирэлтийн коэффициентийг ихэнх тохиолдолд диаграмнаас олно.  Зарим тохиолдолд доорхи томъёололоор бас чирэлтийн коэффициентийг олж болно.

C_D = 1.33 / Re^0.5          {10⁴  < Re < 5 x 10⁵}

C_D = 0.031 / Re ^1/7       {10⁶  < Re < 10⁹}

Чирэлтийн хүч нь онгоцны далавч дээр параллелээр хөдөлгөөний эсрэг чигт үйлчлэнэ. (онгоцны далавч болон аэродинамик далавч/ гадаргуу дээр, airfoil)

Энэ тохиолдолд чирэлтийн коэффициент нь

 http://upload.wikimedia.org/math/b/f/1/bf1fbff1724c4bf977e02068b183c96d.png

• C_D нь чирэлтийн коэффициент
• C_D0 нь онгоцны 0-өргөлтийн чирэлтийн коэффициент
• C_L нь онгоцны өргөлтийн коэффициент
• e нь Освальдын үр ашгийн коэффициент (Oswald efficiency number)
• AR нь аспектийн харьцаа

болно.  Онгоцны 0-өргөлтийн чирэлтийн коэффициент, онгоцны өргөлтийн коэффициент, освальдын үр ашгийн тогтмол зэрэг нь нисэх онгоцны далавчны хийцээс шалтгаалж өөр байна.

Аспектийн харьцаа нь далавчны

AR = b² / A_p

 байна.  b нь далавчны далайцын хэмжээ, А_р нь далавчны талбай юм.

ХIII Өргөлт

Өргөлтийн хүч (lift) нь шингэн дунд байгаа хөдөлгөөнтэй биет дээр үйлчлэх түлхэх хүч болно.

Далавч нь агаар сөрөн явахад өргөлтийн хүч нь далавчны доод хэсгээс түлхэснээр биет нь дээш хөөрнө.  Далавчны дээгүүр сөрөх агаарын урсгал нь хурдтай сөрөн өнгөрч далавчны доогуурхи агаарын урсгал нь даралтын энергиэр далавчинд түлхэлт өгнө.

Далавчны өргөлт авах чанарын сайжруулахын тулд далавчны дээд талаар агаар чөлөөтэй дамжин өнгөрч доод талд нь агаарын түлхэлт хуримтлагдахаар болгон мурийлгаж хийнэ.  Далавчны үзүүрт дэвүүр (flap) нэмж хийснээр нисэх онгоц газраас хурдаа авч өргөлт авах чадварыг нэмдэг.

http://upload.wikimedia.org/math/d/b/7/db7735d03f8de6082982164856a0d8ba.png

• L нь өргөлтийн хүч
• ρ нь агаарын нягт
• v нь агаарын харьцангуй хурд
• A далавчны талбай
• C_L нь өргөлтийн коэффициент

Өргөлтийн коэффициент нь дайралтын өнцгөөс (angle of attack) хамаардаг.

пропорционалийн коэффициент, дайралтын өнцөг зэрэг нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд доорхи томъёололоор бас өргөлтийн коэффициентийг олж болно.

C_L = 2 π k₁ sin (α + β)

Далавчны түлхэлтийн мушгилтын хүч (pitching moment, torque) нь аэродинамик төв дээр эргэлтийн төвтэй бодогдох бөгөөд доорхи томъёогоор бодогдож болно.

М = C_M ρ v2 A_p c / 2

A_p нь далавчны талбай, с нь далавчны хөвч (chord, зурагнаас ажигла), C_M нь түлхэлтийн мушгилтын хүчний коэффициент (pitching moment coefficient) бөгөөд далавчны хэлбэр, далавчны аэродинамик төв цэг зэргээс хамааралтай тогтмол юм.

3. Шингэний Статик

Шингэний статик (fluid statics) нь шингэн биет хөдөлгөөнгүй байх нөхцөлд хийгдэх судалгааг тодорхойлно.  Шингэн хөдөлгөөнгүй байхын тулд шүргэх хүчдэл (shear stress) байхгүй байх ёстой (τ = 0).

I- Гидростатик даралт (hydrostatic pressure)

Хөдөлгөөнгүй нөхцөлд болон хүчний тэнцвэрт байдалд байгаа шингэн дээр дэлхийн татах хүч л үйлчлэх юм.

(Агуулах дотор байгаа хөдөлгөөнгүй байдалтай шингэнийг олон жижиг хэсгүүд болгон хуваасан гэж тооцоё.  Нэгэн жижиг хэсэг дээр үйлчлэх хүч нь тэрхүү хэсэг шингэний дээд талд нь байгаа бусад хэсгүүдийн жин нь л байх юм. )

Гидростатик даралт нь хөдөлгөөнгүй нөхцөлд байгаа шингэний даралт юм. (хэмжигдэхүүн нь Паскаль, Pa)

Гидростатик даралт = p = ρ · g · h

ρ = шингэний нягт (kg/m³)

g = дэлхийн татах хүчний хурдатгал (m/s²),

h = шингэний өндөр (m)

Даралт нь шингэний гүнзгийтэй хамааралтайгаар ихэсч өөрчлөгднө.

Даралт нь шингэний агуулах савны хэлбэр, шингэний жин, багтаамжтай хамааралгүй юм.  Доорхи зураг дээрхи савнуудын хэлбэрээс үл хамаарч ижил өндөрт байгаа цэг дээрхи даралтууд яг адилхан байна.

Даралтыг Хэмжих нь

Манометр:

Манометр (Manometer) нь хоёр багана шингэний даралтыг харьцуулан хэмжих  багаж юм.

U хэлбэртэй манометр багажны шингэний (reference fluid) хооронд үүсэх зайны хэмжээг (h) ашиглаж багажны шингэний хоёр талд байгаа даралтыг бодож олж болно.  Багажны шингэний хоёр талд байгаа шингэнүүдийн даралтын ялгаа нь багажы шингэний даралттай тэнцнэ. (Доорхи зураг)

Барометр:

Барометр (barometer) нь атмосферийн даралтыг (агаарын даралт) хэмжигч багаж юм.

Агаарын даралт багажны шингэнг (ихэнх тохиолдолд мөнгөн ус, Hg) багана дотор хэр хэмжээтэй түлхэж байгааг хэмжин агаарын даралтыг тооцоолон бодож болно.  Агаарын даралтыг багажны шингэний даралттай тэнцэтгэж бодно.

P_atm = P _Hg = ρ_Hg·g·h_Hg

II- Шингэн доторхи хавтгай талбай дээрхи хүчнүүд

Шингэн доторхи аливаа нэг цэг дээрхи даралт нь тухайн цэгийн гүнзгийтэй пропорционал байна:

p = p₀ + ρ·g·z

(p = шингэн доторхи цэг дээрхи даралт

p₀ = шингэний гадарга дээрхи даралт

z = шингэний гадаргаас тухайн цэг хүртэлх зай)

Шингэн доторхи дифференциал талбай дээрхи дифференциал хүч нь

dF = p· dA

байна. (p = талбай дээрхи даралт

Жишээ: Шингэн доторхи ханан дээр үйлчлэх даралт доорхи зурган дээр байна.

F_r нь ханан дээр үйлчлэх `тэнцүү хүч` (Resultant Force).  Даралт нь гурвалжин хэлбэртэй призм шиг үйлчилж байгаа учраас (1/2)·(ρ·g·h) болно.  Тиймээс тэнцүү хүч нь:

F_r = p ·dA = (1/2)· (ρ·g·h)· b·h

болох юм.

III- Даралтын төв цэг

Доорхи зурган дээр хавтгай биет шингэн дотор байгааг харуулж байна.

 Биетийн төв цэг дээр (centroid) байх даралт нь

P_c = p₀ + ρ g h_c = ρ g h_c байна (p₀ нь агаар бол 0 гэж үзэж болно)

h_c = y_c sin θ

P_c = ρ g (y_c sin θ) = F_r / A

F_r = ρ g A y_r sin θ

IV- Архимедийн хууль ба хөвөх чанар

Хөвөх хүч нь шингэн дотор байгаа биет дээр үйлчлэх дээш түлхэх хүч юм.  Хөвөх хүч нь дэлхийн татах хүчний эсрэг үйлчлэнэ.

Архимедийн хууль: шингэн дотор байгаа биет дээр үйлчлэх хөвөх хүч нь биетийн түрж орлуулсан шингэний жинтэй ижил хэмжээтэй хүч байна.

Өөрөөр хэлвэл биет нь шингэн дотор орохдоо өөрийн жинтэй ижил хэмжээний шингэнг орлуулна.

Шингэн доторхи биет нь шингэнтэй тэнцвэрт байдалд орохыг тэмүүлэх юм.  (Шингэний жин нь биетийнхээс илүү байвал биет нь дээш хөвж тэнцвэртэй байдалд орно.  Биетийн жин нь шингэний жингээс илүү байвал биет доошилж тэнцвэртэй байдлыг хайна.  )

Хөвөх хүч нь түрэгдсэн шингэний жингийн төвийг дайрч үйлчлэх бөгөөд дэлхийн татах хүч нь биетийн төв цэгээр дайрч үйлчлэнэ.

2. Шингэний шинж чанарууд

I- Шингэний Даралт

Шингэний өгөгдсөн гадаргуу дээр эгц үйлчлэх хүчдэлийг даралт гэнэ.  Даралтын хэмжигдэхүүн нь Паскаль (Pa).

Даралт = P = F / A.

Даралтыг тооцоолох нь:

P_a  = P_g + P_atm 

P_a = абсолют даралт = огт даралтгүй нөхцөлтэй харьцуулсан даралт

P_g = хэмжигдсэн даралт (gauge)= атмосферийн даралттай харьцуулсан даралт

P_{atm  =} атмосферийн даралт (агаарын даралт) = далайн түвшний өндөрлөгт хэмжигдсэн агаарын тогтмол даралт

II- Шингэний нягт

Шингэний өгөгдсөн эзэлхүүнд оноогдсон жингийн хэмжүүрийг шингэний нягт гэнэ, ρ. Нягтын хэмжигдэхүүн нь kg/m³ 

ρ = m / V

III- Тодорхой жин, тодорхой эзлэхүүн

Тодорхой эзлэхүүн = 1/ ρ

Тодорхой жин  = γ = (ρ) ( g)

g = дэлхийн татах хүчний хурдатгал

IV- Шингэний дотоод үрэлт (viscosity)

Шингэний дотоод үрэлт нь шингэний зуурамтгай чанарыг илэрхийлэгч юм.  Дотоод үрэлт = μ. 

Дотоод үрэлт нь Паскаль-секунд гэсэн хэмжигдэхүүнтэй (Pa s).

Шүргэх хүчдэл нь шингэний хурдны градиент, дотоод үрэлтийн үржвэртэй тэнцнэ.

V- Нягтын харьцаа (Specific Gravity)

Аливаа шингэний нягтыг усны нягттай харьцуулсан тогтмолыг нягтын харьцаа (SG) гэнэ.  Шингэнүүдийг нягтын харьцаагаар нь харьцуулах амар учраас энэхүү ухагдахуун өргөн хэрэглэгддэг.

VI- Өнгөц Таталт (Surface Tension)

Шингэн биетийн гадаргыг тогтоон барих хүчийг өнгөц таталт гэнэ.  Өнгөц таталт нь шингэний гадаргуу дээрхи өгөгдсөн шугам дээрхи таталцлын хүчийг тодорхойлно.

γ = F / L

Хэмжигдэхүүн нь (N/m).

VII- Капилляр Шинж Чанар

Хатуу биет ханатай тулсан нөхцөлд шингэн биетэнд гарах өөрчлөлтийг капилляр шинж чанар (capillarity) тодорхойлно.  Энэ өөрчлөлт үзэгдэл нь шингэний өнгөц таталт болон дотоод молекулуудын хоорондын хүчтэй холбоотой.  Капилляр чанараас болж биетэнд нь өөрчлөлт орсон шингэнг мениск (meniscus) гэж нэрлэнэ.

Цилиндр хэлбэртэй агуулах доторхи шингэний өндөрийг (h) тооцолон бодоход доорхи тэгшитгэл хэрэглэгднэ.

Өндөрийг тооцоолохын тулд шингэний цилиндрийн ханатай үүсгэх өнцөг (contact angle), θ, шингэний өнгөц таталт (γ), шингэний нягт (ρ) , дэлхийн татах хүчний хурдатгал тогтмол (g), цилиндрийн радиус (r) нар нь мэдэгдэж байх ёстой.

VIII- Mach Тоо (Mach Number)

Аливаа шингэний хурдыг дууны хурдтай харьцуулсан тогтмол тоог MACH Тоо, М, гэнэ.  Энэ тогтмол нь шингэнүүдийг харьцуулахад хэрэглэгднэ.

М = V / с

(V = шингэний хурд, с = дууны хурд)

1. Тодорхойлолтууд

I- Шингэн гэж юу вэ?

Шүргэлтээр (тангенс) даралт үйлчилсэн нөхцөлд биеийн хэлбэрийн үргэлжилсэн хувиралд орох эд бодисыг шингэн гэнэ. (fluid)

Шингэний механик нь шингэн дээр үйлчлэх хүчнүүдийн судалгаа анализ болно.

II- Хүчдэл (stress)

Шингэн дээр хоёр төрлийн хүч үйлчлэх бөгөөд тэр нь

1) биеийн хүч (b), 2) гадаргын хүч (F)

юм.

Биеийн хүч нь шингэний ширхэг бодис бүр дээр үйлчлэх зайны хүчнүүд юм.  Жишээ нь цахилгаан  соронзон хүч, татах хүч, гэх мэт.

Гадаргын хүч нь шингэний гадаргуу дээр тулж шууд үйлчлэх хүчнүүд юм.

Оноосон талбай дээр үйлчлэх хүчийг хүчдэл гэнэ.

Хүчдэлийн нийлбэр векторыг Т, гадаргын хүчийг F, гадаргууг S гэж тэмдэглэвэл:

болох юм. 

Хүчдэл нь хоёр вектор бүрэлдэхүүнээс бүтнэ.

1) Талбайтай эгц (перпендикуляр) үйлчлэх хүчдэл

2) Талбайтай шүргэлтээр үйлчлэх хүчдэл

Талбайтай эгц үйлчлэх хүчдэл нь  шингэн дээрхи даралт юм.

Талбайтай шүргэлтээр үйлчэлх хүчдэл нь шингэний хөдөлгөөнтэй холбоотой.